Taban yarıçapı 6 cm, yüksekliği 15 cm olan dik dairesel silindir şeklindeki bir kabın içi su ile doludur. Bu suyun tamamı, taban ayrıtları 6 cm ve 9 cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir kaba boşaltılıyor.
Buna göre prizmadaki su yüksekliği kaç cm olur? (π=3 alınız)
Bir kaptaki suyu başka bir kaba aktardığımızda suyun hacminin değişmediğini unutmayın. Bu bilgi, problemimizi çözmek için anahtarımız olacak!
Silindir şeklindeki kabın taban yarıçapı $r = 6$ cm ve yüksekliği $h_c = 15$ cm olarak verilmiş. Silindirin hacim formülü $V_c = \pi r^2 h_c$'dir. Soruda $\pi$ değerini $3$ almamız isteniyor.
Hesaplayalım:
$V_c = 3 \times (6 \text{ cm})^2 \times 15 \text{ cm}$
$V_c = 3 \times 36 \text{ cm}^2 \times 15 \text{ cm}$
$V_c = 108 \text{ cm}^2 \times 15 \text{ cm}$
$V_c = 1620 \text{ cm}^3$
Demek ki silindirdeki suyun hacmi $1620 \text{ cm}^3$'tür.
Suyun tamamı, taban ayrıtları $a = 6$ cm ve $b = 9$ cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir kaba boşaltılıyor. Prizmadaki suyun yüksekliğini $h_p$ olarak arıyoruz. Dikdörtgenler prizmasının hacim formülü $V_p = \text{Taban Alanı} \times \text{Yükseklik}$'tir.
Taban alanı $A_p = a \times b$ olduğundan, prizmadaki suyun hacmi:
$V_p = 6 \text{ cm} \times 9 \text{ cm} \times h_p$
$V_p = 54 \text{ cm}^2 \times h_p$
Suyun hacmi değişmediği için silindirdeki suyun hacmi ile prizmadaki suyun hacmi birbirine eşit olmalıdır ($V_c = V_p$).
$1620 \text{ cm}^3 = 54 \text{ cm}^2 \times h_p$
Şimdi $h_p$'yi bulmak için her iki tarafı $54 \text{ cm}^2$'ye bölelim:
$h_p = \frac{1620 \text{ cm}^3}{54 \text{ cm}^2}$
$h_p = 30 \text{ cm}$
Buna göre prizmadaki su yüksekliği $30$ cm olur.
Cevap A seçeneğidir.
