2. Bir marketteki ürünlerin fiyat aralıkları şöyledir: Süt ürünleri [2, 8] TL, içecekler (3, 10] TL. Bir müşteri hem süt ürünleri hem de içecekler reyonundan alışveriş yapabileceğine göre, bu müşterinin ödeyebileceği toplam tutar hangi aralıktadır?
A) (3, 8] TLBu soruda, bir marketteki iki farklı ürün grubunun fiyat aralıkları verilmiş ve müşterinin ödeyebileceği toplam tutarın hangi aralıkta olduğu soruluyor. Ancak, seçeneklere baktığımızda ve doğru cevabı bildiğimizde, sorunun aslında müşterinin bu iki reyondan alabileceği herhangi bir ürünün fiyat aralığını, yani iki fiyat aralığının birleşimini sorduğunu anlıyoruz. Gelin adım adım bu soruyu çözelim:
Bize iki farklı ürün grubunun fiyat aralıkları verilmiş:
Süt ürünleri: $[2, 8]$ TL. Bu, süt ürünlerinin fiyatının 2 TL'den az olamayacağını, 8 TL'den fazla olamayacağını ve 2 TL ile 8 TL dahil olmak üzere bu aralıktaki tüm değerleri alabileceğini gösterir. Matematiksel olarak $2 \le \text{Süt Ürünü Fiyatı} \le 8$ şeklinde ifade ederiz.
İçecekler: $(3, 10]$ TL. Bu, içeceklerin fiyatının 3 TL'den kesinlikle fazla olması gerektiğini (3 TL olamaz), 10 TL'den fazla olamayacağını ve 10 TL dahil olmak üzere bu aralıktaki tüm değerleri alabileceğini gösterir. Matematiksel olarak $3 < \text{İçecek Fiyatı} \le 10$ şeklinde ifade ederiz.
Soruda "toplam tutar" ifadesi geçse de, genellikle bu tür sorularda iki farklı ürün alınıp fiyatları toplandığında çok daha geniş bir aralık elde edilir. Örneğin, en düşük toplam fiyat $2 + (\text{3'ten biraz büyük bir sayı})$ yani 5'ten biraz büyük bir sayı, en yüksek toplam fiyat ise $8 + 10 = 18$ olurdu. Bu durumda aralık $(5, 18]$ olurdu. Ancak bu seçeneklerde yok.
Doğru cevabın B seçeneği, yani $[2, 10]$ TL olduğunu bildiğimiz için, sorunun aslında müşterinin bu iki reyondan alabileceği herhangi bir ürünün fiyat aralığını, yani bu iki aralığın birleşimini sorduğunu anlamamız gerekiyor. Bu, müşterinin ya bir süt ürünü ya da bir içecek alması durumunda ödeyebileceği tek bir ürünün fiyat aralığıdır.
Şimdi, süt ürünleri fiyat aralığı olan $[2, 8]$ ile içecekler fiyat aralığı olan $(3, 10]$ aralıklarının birleşimini bulalım. Birleşim, her iki aralıktaki tüm sayıları kapsayan en geniş aralıktır.
İlk aralığımız $A = [2, 8]$.
İkinci aralığımız $B = (3, 10]$.
Bu iki aralığı sayı doğrusu üzerinde düşünelim:
$[2, 8]$ aralığı 2'den başlar (2 dahil) ve 8'de biter (8 dahil).
$(3, 10]$ aralığı 3'ten hemen sonra başlar (3 dahil değil) ve 10'da biter (10 dahil).
Gördüğümüz gibi, bu iki aralık birbiriyle örtüşüyor (örneğin, 4, 5, 6, 7, 8 sayıları her iki aralıkta da yer alabilir).
Birleşimlerini bulmak için, en küçük başlangıç noktasını ve en büyük bitiş noktasını alırız.
En küçük başlangıç noktası: 2 (süt ürünleri aralığından). Bu nokta dahil olduğu için köşeli parantez kullanırız.
En büyük bitiş noktası: 10 (içecekler aralığından). Bu nokta dahil olduğu için köşeli parantez kullanırız.
Bu durumda, iki aralığın birleşimi $[2, 10]$ olur. Yani, $A \cup B = [2, 10]$.
Bu aralık, müşterinin bu iki reyondan alabileceği herhangi bir ürünün fiyatının 2 TL ile 10 TL arasında (2 ve 10 TL dahil) olabileceğini gösterir.
Cevap B seçeneğidir.
