A = {x, y, z} kümesi üzerinde tanımlı bağıntıların sayısı ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) 64 bağıntı vardır
B) 128 bağıntı vardır
C) 256 bağıntı vardır
D) 512 bağıntı vardır
Merhaba sevgili öğrenciler!
Küme teorisi ve bağıntılar konusu, matematiğin temel taşlarından biridir. Bir küme üzerinde tanımlı bağıntıların sayısını bulmak için adım adım ilerleyelim.
- Adım 1: Kümeyi ve Eleman Sayısını Belirleyelim
- Bize verilen küme $A = \{x, y, z\}$'dir.
- Bu kümenin eleman sayısı, $|A|$ ile gösterilir ve $3$'tür. Yani, $|A| = 3$.
- Adım 2: Kartezyen Çarpımı Anlayalım
- Bir $A$ kümesi üzerinde tanımlı bir bağıntı, $A \times A$ kartezyen çarpımının herhangi bir alt kümesidir.
- $A \times A$ kümesi, $A$'dan $A$'ya tüm sıralı ikililerin kümesidir. Yani, $(a, b)$ şeklinde, $a \in A$ ve $b \in A$ olan tüm ikilileri içerir.
- Adım 3: Kartezyen Çarpımının Eleman Sayısını Bulalım
- $A \times A$ kümesinin eleman sayısı, $|A \times A|$ ile gösterilir ve $|A| \times |A|$ formülüyle bulunur.
- Bizim durumumuzda, $|A \times A| = |A| \times |A| = 3 \times 3 = 9$'dur.
- Yani, $A \times A$ kümesi $9$ tane sıralı ikili içerir. (Örnek: $(x,x), (x,y), \dots, (z,z)$)
- Adım 4: Bağıntı Sayısını Hesaplayalım
- Bir küme üzerinde tanımlı bağıntıların sayısı, o kümenin kartezyen çarpımının tüm alt kümelerinin sayısı kadardır.
- Genel bir kural olarak, eğer bir kümenin eleman sayısı $n$ ise, bu kümenin $2^n$ tane alt kümesi vardır.
- Bizim durumumuzda, $A \times A$ kümesinin eleman sayısı $9$'dur. Dolayısıyla, bu kümenin alt küme sayısı $2^9$ olacaktır.
- Adım 5: Sonucu Bulalım
- $2^9$ değerini hesaplayalım:
- $2^1 = 2$
- $2^2 = 4$
- $2^3 = 8$
- $2^4 = 16$
- $2^5 = 32$
- $2^6 = 64$
- $2^7 = 128$
- $2^8 = 256$
- $2^9 = 512$
- Bu durumda, $A$ kümesi üzerinde tanımlı $512$ bağıntı vardır.
Cevap D seçeneğidir.
