Bir sepette kırmızı ve yeşil elmalar bulunmaktadır. Kırmızı elmaların sayısı yeşil elmaların sayısının 3 katıdır. Sepetten rastgele alınan bir elmanın yeşil olma olasılığı \( \frac{1}{5} \) olduğuna göre, sepette toplam kaç elma vardır?
A) 15
B) 20
C) 25
D) 30
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problemde elmaların sayıları arasındaki ilişkiyi ve olasılık kavramını kullanarak sepetteki toplam elma sayısını bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Elma Sayılarını Tanımlayalım:
- Sepetteki yeşil elma sayısına $Y$ diyelim.
- Sepetteki kırmızı elma sayısına $K$ diyelim.
- 2. Kırmızı ve Yeşil Elmalar Arasındaki İlişkiyi Kuralım:
- Soruda "Kırmızı elmaların sayısı yeşil elmaların sayısının 3 katıdır" deniyor. Bu durumda, matematiksel olarak bu ilişkiyi şöyle ifade edebiliriz: $K = 3Y$.
- 3. Toplam Elma Sayısını Bulalım:
- Sepetteki toplam elma sayısı (T), kırmızı ve yeşil elmaların sayısının toplamıdır: $T = K + Y$.
- $K = 3Y$ olduğu için, bu ifadeyi toplam elma sayısında yerine yazarsak: $T = 3Y + Y = 4Y$.
- Yani, sepetteki toplam elma sayısı, yeşil elma sayısının 4 katıdır.
- 4. Yeşil Elma Çekme Olasılığını Hesaplayalım:
- Bir elmanın yeşil olma olasılığı, yeşil elma sayısının toplam elma sayısına oranıdır: $P(\text{Yeşil}) = \frac{\text{Yeşil Elma Sayısı}}{\text{Toplam Elma Sayısı}}$.
- Bizim tanımlamalarımıza göre: $P(\text{Yeşil}) = \frac{Y}{T}$.
- $T = 4Y$ olduğunu bulmuştuk. Bu değeri olasılık formülünde yerine yazarsak: $P(\text{Yeşil}) = \frac{Y}{4Y} = \frac{1}{4}$.
- Bu, kırmızı elmaların yeşil elmaların 3 katı olduğu bir sepette, yeşil elma çekme olasılığının $ \frac{1}{4} $ olması gerektiği anlamına gelir.
- 5. Verilen Olasılıkla Karşılaştırma ve Çözüme Ulaşma:
- Soruda bize yeşil elma çekme olasılığının $ \frac{1}{5} $ olduğu bilgisi verilmiştir. Ancak, elma sayıları arasındaki orandan (kırmızı elmaların yeşil elmaların 3 katı olması) hesapladığımız olasılık $ \frac{1}{4} $'tür. Bu iki bilgi birbiriyle çelişmektedir.
- Bu tür durumlarda, genellikle elma sayıları arasındaki oranın (kırmızı elmaların yeşil elmaların 3 katı olması) temel alındığı ve bu orandan türetilen olasılığın (yani $ \frac{1}{4} $ olasılığının) sorunun çözümü için kullanılması beklenir. Verilen seçeneklerden doğru cevabı bulmak için bu yaklaşımı izleyelim.
- Eğer yeşil elma çekme olasılığı $ \frac{1}{4} $ ise, bu durumda toplam elma sayısının $ \frac{1}{4} $'ü yeşil elmadır.
- Şimdi seçenekleri kontrol edelim ve hangi seçenekte bu koşulun sağlandığını bulalım:
- A) 15 elma: Yeşil elma sayısı $15 \times \frac{1}{4} = 3.75$ (Elma sayısı tam sayı olmalı, bu seçenek olamaz).
- B) 20 elma: Yeşil elma sayısı $20 \times \frac{1}{4} = 5$.
- Eğer 5 yeşil elma varsa, kırmızı elma sayısı $3 \times 5 = 15$ olur.
- Toplam elma sayısı $5 + 15 = 20$ olur. Bu, seçenekteki toplam elma sayısıyla ve kırmızı-yeşil elma oranıyla tutarlıdır.
- C) 25 elma: Yeşil elma sayısı $25 \times \frac{1}{4} = 6.25$ (Elma sayısı tam sayı olmalı, bu seçenek olamaz).
- D) 30 elma: Yeşil elma sayısı $30 \times \frac{1}{4} = 7.5$ (Elma sayısı tam sayı olmalı, bu seçenek olamaz).
- Görüldüğü gibi, sadece B seçeneği (20 elma) elma sayıları arasındaki oranı (kırmızı elmaların yeşil elmaların 3 katı olması) ve dolayısıyla $ \frac{1}{4} $ olasılığını tam sayılarla tutarlı bir şekilde sağlamaktadır.
Cevap B seçeneğidir.
