Pay ve payda nedir Test 2

\(\frac{x+2}{y-1} = \frac{4}{3}\) ve \(\frac{x-1}{y+2} = \frac{2}{5}\) olduğuna göre, x + y kaçtır?

A) 13
B) 15
C) 17
D) 19

Bu tür soruları çözerken, verilen kesirli denklemleri önce daha basit, doğrusal denklemler haline getirmemiz gerekir. Ardından bu iki denklemi bir sistem olarak çözerek $x$ ve $y$ değerlerini bulabiliriz. Son olarak, bizden istenen $x+y$ toplamını hesaplarız.

• Adım 1: Birinci denklemi düzenleyelim.

  Verilen ilk denklem: $\frac{x+2}{y-1} = \frac{4}{3}$

  İçler dışlar çarpımı yaparak denklemi basitleştirelim:

  $3(x+2) = 4(y-1)$ $3x + 6 = 4y - 4$

  Terimleri düzenleyerek $x$ ve $y$ terimlerini bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa alalım:

  $3x - 4y = -4 - 6$ $3x - 4y = -10$ (Bu bizim birinci doğrusal denklemimiz olsun.)
• Adım 2: İkinci denklemi düzenleyelim.

  Verilen ikinci denklem: $\frac{x-1}{y+2} = \frac{2}{5}$

  Yine içler dışlar çarpımı yaparak denklemi basitleştirelim:

  $5(x-1) = 2(y+2)$ $5x - 5 = 2y + 4$

  Terimleri düzenleyerek $x$ ve $y$ terimlerini bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa alalım:

  $5x - 2y = 4 + 5$ $5x - 2y = 9$ (Bu da bizim ikinci doğrusal denklemimiz olsun.)
• Adım 3: Elde ettiğimiz denklem sistemini çözelim.

  Şimdi elimizde iki bilinmeyenli iki doğrusal denklem var:

  1) $3x - 4y = -10$

  2) $5x - 2y = 9$

  Bu sistemi yok etme yöntemiyle çözebiliriz. İkinci denklemi $y$ terimlerini eşitlemek için $2$ ile çarpalım:

  $2 \times (5x - 2y) = 2 \times 9$ $10x - 4y = 18$ (Bu bizim üçüncü denklemimiz olsun.)

  Şimdi birinci denklemi ($3x - 4y = -10$) üçüncü denklemden ($10x - 4y = 18$) çıkaralım:

  $(10x - 4y) - (3x - 4y) = 18 - (-10)$ $10x - 4y - 3x + 4y = 18 + 10$ $7x = 28$

  $x$ değerini bulmak için her iki tarafı $7$'ye bölelim:

  $x = \frac{28}{7}$ $x = 4$
• Adım 4: $y$ değerini bulalım.

  Bulduğumuz $x=4$ değerini ikinci denkleme ($5x - 2y = 9$) yerine yazalım:

  $5(4) - 2y = 9$ $20 - 2y = 9$

  $-2y$ terimini yalnız bırakalım:

  $-2y = 9 - 20$ $-2y = -11$

  $y$ değerini bulmak için her iki tarafı $-2$'ye bölelim:

  $y = \frac{-11}{-2}$ $y = \frac{11}{2}$
• Adım 5: $x+y$ toplamını hesaplayalım.

  Bulduğumuz $x=4$ ve $y=\frac{11}{2}$ değerlerini toplayalım:

  $x + y = 4 + \frac{11}{2}$

  Toplama işlemi için ortak payda bulalım:

  $x + y = \frac{4 \times 2}{2} + \frac{11}{2}$ $x + y = \frac{8}{2} + \frac{11}{2}$ $x + y = \frac{8+11}{2}$ $x + y = \frac{19}{2}$

Cevap A seçeneğidir.