Polinomlarda tek dereceli terimlerin katsayıları toplamı Test 2

P(x) = (x² + 3x - 4)³ · (x³ - 2x² + x) polinomunun tek dereceli terimlerinin katsayıları toplamını bulmak için aşağıdaki işlemlerden hangisi yapılmalıdır?

A) P(1) - P(-1) değeri hesaplanır
B) P(1) + P(-1) değeri hesaplanır
C) [P(1) - P(-1)] / 2 değeri hesaplanır
D) [P(1) + P(-1)] / 2 değeri hesaplanır

Bir polinomun tek dereceli terimlerinin katsayıları toplamını bulmak için kullanılan genel bir yöntem vardır. Bu yöntemi anlamak için, genel bir $P(x)$ polinomunu ele alalım:

• $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$ şeklinde bir polinomda $a_0, a_1, ..., a_n$ polinomun katsayılarıdır.
• Tüm Katsayılar Toplamı ($P(1)$): Polinomda $x=1$ yazarak bulunur.

  $P(1) = a_n (1)^n + a_{n-1} (1)^{n-1} + ... + a_2 (1)^2 + a_1 (1) + a_0$

  $P(1) = a_n + a_{n-1} + ... + a_2 + a_1 + a_0$

  Bu ifade, tüm katsayıların toplamını verir.

• $P(-1)$ Değeri: Polinomda $x=-1$ yazarak bulunur.

  $P(-1) = a_n (-1)^n + a_{n-1} (-1)^{n-1} + ... + a_2 (-1)^2 + a_1 (-1) + a_0 (-1)^0$

  Burada $(-1)$'in kuvvetleri önemlidir:

  • Eğer kuvvet çift ise, $(-1)^{\text{çift}} = 1$.
  • Eğer kuvvet tek ise, $(-1)^{\text{tek}} = -1$.

  Buna göre, $P(-1)$ ifadesi çift dereceli terimlerin katsayılarını pozitif, tek dereceli terimlerin katsayılarını negatif işaretli olarak toplar:

  $P(-1) = (a_0 + a_2 + a_4 + ...) - (a_1 + a_3 + a_5 + ...)$

• Şimdi elimizde iki önemli denklem var:

  Denklem 1: $P(1) = (a_0 + a_2 + a_4 + ...) + (a_1 + a_3 + a_5 + ...)$ (Çift dereceli terimlerin katsayıları toplamı + Tek dereceli terimlerin katsayıları toplamı)

  Denklem 2: $P(-1) = (a_0 + a_2 + a_4 + ...) - (a_1 + a_3 + a_5 + ...)$ (Çift dereceli terimlerin katsayıları toplamı - Tek dereceli terimlerin katsayıları toplamı)

• Bizden tek dereceli terimlerin katsayıları toplamı isteniyor, yani $(a_1 + a_3 + a_5 + ...)$ ifadesini bulmalıyız. Bu ifadeyi elde etmek için Denklem 1'den Denklem 2'yi çıkaralım:

  $P(1) - P(-1) = [(a_0 + a_2 + ...) + (a_1 + a_3 + ...)] - [(a_0 + a_2 + ...) - (a_1 + a_3 + ...)]$

  $P(1) - P(-1) = (a_0 + a_2 + ...) + (a_1 + a_3 + ...) - (a_0 + a_2 + ...) + (a_1 + a_3 + ...)$

  $P(1) - P(-1) = 2 \cdot (a_1 + a_3 + a_5 + ...)$

• Buradan tek dereceli terimlerin katsayıları toplamını çekersek:

  Tek dereceli terimlerin katsayıları toplamı $= \frac{P(1) - P(-1)}{2}$

• Bu işlem, verilen $P(x)$ polinomunun ne olduğuna bakılmaksızın tüm polinomlar için geçerli bir kuraldır.

Bu durumda, doğru işlem C seçeneğinde belirtilen $[P(1) - P(-1)] / 2$ değerini hesaplamaktır.

Cevap C seçeneğidir.