K = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir çift sayı bulunur?
A) 32Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım, anlaşılır bir şekilde çözelim. Soru, bir kümenin alt kümeleriyle ilgili ve belirli bir koşulu (en az bir çift sayı bulunması) sağlamalarını istiyor.
Bize verilen küme $K = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$'dır. Bu kümenin eleman sayısı $|K| = 6$'dır.
Bir kümenin eleman sayısı $n$ ise, bu kümenin toplam alt küme sayısı $2^n$ formülüyle bulunur. Bizim kümemizin eleman sayısı 6 olduğu için, toplam alt küme sayısı $2^6$'dır.
$2^6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64$.
Yani, $K$ kümesinin toplam 64 tane alt kümesi vardır.
"En az bir çift sayı bulunur" demek, alt kümede 1, 2 veya 3 tane çift sayı olabilir demektir. Bu durumu doğrudan saymak karmaşık olabilir. Bu tür durumlarda genellikle tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkarmak daha kolaydır. İstenmeyen durum, "hiç çift sayı bulunmaması" durumudur.
Yani, (En az bir çift sayı içeren alt küme sayısı) = (Toplam alt küme sayısı) - (Hiç çift sayı içermeyen alt küme sayısı).
K kümesindeki çift sayılar: $\{2, 4, 6\}$
K kümesindeki tek sayılar: $\{1, 3, 5\}$
Bir alt kümenin hiç çift sayı içermemesi demek, o alt kümenin sadece tek sayılardan oluşması demektir. K kümesindeki tek sayılar kümesi $T = \{1, 3, 5\}$'tir. Bu kümenin eleman sayısı $|T| = 3$'tür.
Sadece tek sayılardan oluşan alt kümelerin sayısı, $T$ kümesinin alt küme sayısı kadardır. Bu da $2^{|T|}$ formülüyle bulunur.
$2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$.
Yani, K kümesinin 8 tane alt kümesinde hiç çift sayı bulunmaz (sadece tek sayılardan oluşur).
Şimdi 3. adımda belirlediğimiz formülü kullanalım:
(En az bir çift sayı içeren alt küme sayısı) = (Toplam alt küme sayısı) - (Hiç çift sayı içermeyen alt küme sayısı)
En az bir çift sayı içeren alt küme sayısı = $64 - 8 = 56$.
Bu durumda, K kümesinin alt kümelerinin 56 tanesinde en az bir çift sayı bulunur.
Cevap C seçeneğidir.
