Hangi seçenekte verilen ifade, değişkenin tüm gerçek sayı değerleri için bir polinom belirtir?
A) \(\frac{x^2 - 4}{x+2}\)
B) \(\sqrt{x^4}\)
C) \(x^0 + 2x^1 + 3x^2\)
D) \(|x| + x^2\)
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, verilen ifadelerden hangisinin değişkenin tüm gerçek sayı değerleri için bir polinom belirttiğini bulmamız isteniyor. Öncelikle bir ifadenin "polinom" olabilmesi için hangi özelliklere sahip olması gerektiğini hatırlayalım:
- Bir polinom, değişkenin (burada $x$) sadece toplama, çıkarma ve çarpma işlemleriyle bir araya gelmesiyle oluşur.
- Değişkenin üsleri (kuvvetleri) daima doğal sayı (yani $0, 1, 2, 3, \dots$) olmalıdır. Negatif üsler, kesirli üsler (kökler) veya değişkenin paydada olması polinom tanımına uymaz.
- Değişken mutlak değer içinde bulunmamalıdır.
- Bir polinom, değişkenin tüm gerçek sayı değerleri için tanımlı olmalıdır.
Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
- A) $\frac{x^2 - 4}{x+2}$
- Bu ifadeyi sadeleştirebiliriz: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$ olduğu için, ifade $\frac{(x-2)(x+2)}{x+2}$ şeklinde yazılabilir.
- Eğer $x \neq -2$ ise, ifade $x-2$ olarak sadeleşir. $x-2$ bir polinomdur.
- Ancak, polinom tanımına göre ifadenin değişkenin *tüm gerçek sayı değerleri* için tanımlı olması gerekir. Verilen orijinal ifade $x = -2$ için tanımsızdır (payda sıfır olur). Bu nedenle, bu ifade tüm gerçek sayılar için bir polinom belirtmez.
- B) $\sqrt{x^4}$
- Bu ifadeyi sadeleştirelim: $\sqrt{x^4} = (x^4)^{1/2} = x^{(4 \cdot 1/2)} = x^2$.
- $x^2$ ifadesi bir polinomdur. Üssü $2$ (doğal sayı) ve tüm gerçek sayılar için tanımlıdır.
- Ancak, polinomlar genellikle değişkenin kök içinde bulunmadığı ifadeler olarak tanımlanır. Bazı matematiksel tanımlarda, bir ifadenin polinom sayılabilmesi için *başlangıçta* köklü ifade içermemesi beklenir, sadece toplama, çıkarma ve doğal sayı üsleri ile çarpma işlemlerini içermelidir. Bu tür sorularda genellikle ifadenin *verilen haliyle* polinom tanımına uyup uymadığına bakılır. $\sqrt{x^4}$ ifadesi kök içerdiği için, bu tanım çerçevesinde bir polinom olarak kabul edilmeyebilir.
- C) $x^0 + 2x^1 + 3x^2$
- Bu ifadeyi sadeleştirelim: $x^0 = 1$, $x^1 = x$. Dolayısıyla ifade $1 + 2x + 3x^2$ şeklindedir.
- Bu ifadede değişken $x$'in üsleri $0, 1, 2$'dir. Bunların hepsi doğal sayılardır.
- Değişken paydada değildir, kök içinde değildir ve mutlak değer içinde değildir.
- Bu ifade, değişkenin tüm gerçek sayı değerleri için tanımlıdır.
- Bu nedenle, bu ifade bir polinomun tüm özelliklerini taşır.
- D) $|x| + x^2$
- Bu ifadede $|x|$ terimi bulunmaktadır.
- Mutlak değer fonksiyonu, polinom tanımına uymaz. Çünkü bir polinomun grafiği "pürüzsüz" olmalıdır (her yerde türevlenebilir). $|x|$ fonksiyonu $x=0$ noktasında "köşeli" bir yapıya sahiptir ve bu noktada türevlenemez.
- Bu nedenle, $|x|$ içeren bir ifade polinom değildir.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, sadece C seçeneğinde verilen ifadenin değişkenin tüm gerçek sayı değerleri için bir polinom belirttiğini görüyoruz.
Cevap C seçeneğidir.
