Bir sınıftaki öğrencilerin %60'ı matematikten, %70'i fizikten başarılıdır. Her iki dersten başarısız olan öğrenci olmadığına göre, her iki dersten başarılı olan öğrencilerin yüzdesi kaçtır?
A) %10
B) %20
C) %30
D) %40
Merhaba sevgili öğrenciler! Bu tür yüzde problemlerini çözerken, küme kavramlarını ve basit bir formülü kullanarak sonuca kolayca ulaşabiliriz. Haydi adım adım ilerleyelim ve bu soruyu birlikte çözelim.
Adım 1: Verilen Bilgileri Anlayalım ve Not Edelim.
Sınıftaki tüm öğrencilerin yüzdesi her zaman %100'dür.
Matematikten başarılı olan öğrencilerin yüzdesi: $P(M) = \%60$.
Fizikten başarılı olan öğrencilerin yüzdesi: $P(F) = \%70$.
Sorunun en kritik bilgisi: "Her iki dersten başarısız olan öğrenci olmadığına göre". Bu ne anlama geliyor? Bu, sınıftaki her öğrencinin en az bir dersten (ya matematikten, ya fizikten ya da her ikisinden) başarılı olduğu anlamına gelir. Yani, Matematik veya Fizik'ten başarılı olanların toplam yüzdesi %100'dür. Matematik veya Fizik'ten başarılı olanları $P(M \cup F)$ ile gösteririz, dolayısıyla $P(M \cup F) = \%100$.
Adım 2: Küme Formülünü Hatırlayalım.
İki kümenin birleşiminin yüzdesini bulmak için kullandığımız genel bir formül vardır:
$P(M \cup F) = P(M) + P(F) - P(M \cap F)$
Bu formülde:
$P(M \cup F)$: Matematik VEYA Fizik'ten başarılı olanların yüzdesi.
$P(M)$: Sadece Matematik'ten başarılı olanların yüzdesi DEĞİL, Matematik'ten başarılı olanların tüm yüzdesi.
$P(F)$: Sadece Fizik'ten başarılı olanların yüzdesi DEĞİL, Fizik'ten başarılı olanların tüm yüzdesi.
$P(M \cap F)$: Matematik VE Fizik'ten başarılı olanların yüzdesi. İşte bu, bizim aradığımız değer!
Adım 3: Bilgileri Formülde Yerine Koyalım.
Şimdi, Adım 1'de belirlediğimiz değerleri ve Adım 2'deki formülü bir araya getirelim:
$\%100 = \%60 + \%70 - P(M \cap F)$
Şimdi, $P(M \cap F)$ değerini bulmak için denklemi yeniden düzenleyelim. $P(M \cap F)$'yi eşitliğin sol tarafına, %100'ü ise sağ tarafına alalım:
$P(M \cap F) = \%130 - \%100$
Sonuç olarak:
$P(M \cap F) = \%30$
Demek ki, her iki dersten de başarılı olan öğrencilerin yüzdesi %30'dur. Gördüğünüz gibi, doğru formülü ve verilen bilgiyi dikkatlice kullanarak sonuca kolayca ulaşabiliriz!
