Karmaşık sayılar kümesi neden sıralı değildir

Question

Karmaşık sayıların sıralama özelliğini anlamakta zorlanıyorum. Mesela 3+2i ile 1+4i'yi karşılaştırdığımda hangisinin daha büyük olduğunu söyleyemiyorum. Reel sayılardaki gibi "büyüktür/küçüktür" ilişkisi kuramadığım için kafam karışıyor.

Answer 1

Karmaşık Sayılar ve Sıralama

Matematikte, gerçel sayılar kümesi (\( \mathbb{R} \)) bir tam sıralı küme'dir. Bu, herhangi iki gerçel sayıyı aldığımızda, bunlardan birinin diğerinden kesinlikle küçük, büyük veya eşit olduğunu söyleyebileceğimiz anlamına gelir. Örneğin, 3 < 5 veya -2 < 1 gibi.

Ancak, karmaşık sayılar kümesi (\( \mathbb{C} \)) için durum farklıdır. Karmaşık sayılar kümesi, "<" (küçüktür) veya ">" (büyüktür) gibi sıralama ilişkileriyle tam sıralı bir küme oluşturamaz.

Neden Sıralı Değildir?

Bir kümenin tam sıralı olabilmesi için, üzerinde tanımlanan "<" (küçüktür) ilişkisinin belirli kuralları sağlaması gerekir. Bu kurallardan en önemlileri şunlardır:

• Trichotomi (Üçlü Durum) Özelliği: Kümedeki her \( a \) ve \( b \) elemanı için, aşağıdaki üç durumdan yalnızca ve yalnızca biri doğru olmalıdır:
  • \( a < b \)
  • \( b < a \)
  • \( a = b \)
• Geçişlilik Özelliği: Eğer \( a < b \) ve \( b < c \) ise, o zaman \( a < c \) olmalıdır.
• Sıralama ve Toplama Uyumu: Eğer \( a < b \) ise, her \( c \) için \( a + c < b + c \) olmalıdır.
• Sıralama ve Çarpma Uyumu: Eğer \( a < b \) ve \( 0 < c \) ise, o zaman \( a \cdot c < b \cdot c \) olmalıdır.

Karmaşık sayılar kümesinde, bu kuralların hepsini aynı anda sağlayan bir "<" ilişkisi tanımlanamaz.

Ana Çelişki Nerede?

En büyük problem, sıralama ile çarpma işleminin uyumlu olması gerekliliğinden kaynaklanır. Gerçel sayılarda "0'dan büyük" olma kavramı vardır ve bu, karesi pozitif olan sayılar olarak düşünülebilir.

Karmaşık sayılarda ise \( i \) birimini ele alalım. \( i \)'nin karesi \( i^2 = -1 \)'dir.

Farz edelim ki karmaşık sayılar için bir "<" sıralaması tanımlanabilsin. O zaman \( i \) için bir karar vermemiz gerekir:

• Durum 1: \( i > 0 \) olsun.

  Eğer \( i > 0 \) ise, pozitif sayılarla çarpma kuralı gereği, her iki tarafı da \( i \) ile çarparsak eşitsizlik yön değiştirmemeli: \( i \cdot i > i \cdot 0 \). Bu bize \( i^2 > 0 \), yani \( -1 > 0 \) sonucunu verir. Bu bir çelişkidir, çünkü -1, 0'dan büyük olamaz.

• Durum 2: \( i < 0 \) olsun.

  Eğer \( i < 0 \) ise, her iki tarafa \( -i \) eklersek (sıralama ve toplama uyumu gereği) \( i + (-i) < 0 + (-i) \) olur, bu da \( 0 < -i \) demektir. Yani \( -i \) pozitiftir.

  Şimdi, \( i < 0 \) eşitsizliğinin her iki tarafını pozitif olduğunu varsaydığımız \( -i \) ile çarpalım. Eşitsizlik yön değiştirmez: \( i \cdot (-i) < 0 \cdot (-i) \). Bu bize \( -i^2 < 0 \), yani \( -(-1) < 0 \) sonucunu verir. Bu da \( 1 < 0 \) anlamına gelir ki bu da bir çelişkidir.

• Durum 3: \( i = 0 \) olsun.

  Bu da doğru değildir, çünkü \( i \) sıfır değildir, \( i^2 = -1 \)'dir.

Görüldüğü gibi, trichotomi özelliği gereği \( i \) için 0'dan büyük, 0'dan küçük veya 0'a eşit olmak zorundaydı. Ancak bu üç durumun hiçbiri çarpma işlemiyle uyumlu bir sonuç vermedi. Bu da bize karmaşık sayılar kümesinin, alıştığımız anlamda bir sıralama ilişkisi taşıyamayacağını kanıtlar.

Sonuç

Karmaşık sayılar kümesi, gerçel sayılar gibi tam sıralı bir cisim değildir. İki karmaşık sayıyı ancak modül (mutlak değer) veya gerçel kısım gibi özelliklerine göre karşılaştırabiliriz, ancak bu "<" ilişkisi tüm küme için geçerli, tutarlı ve işlemlerle uyumlu bir tam sıra tanımlamaz.