Soru 1: Bir matematik sınavında 5 öğrencinin aldığı notlar şu şekildedir: 70, 80, 85, 90, 75. Bu veri setinin standart sapması yaklaşık olarak kaçtır?
a) 5,48
b) 6,32
c) 7,07
d) 8,94
e) 9,12
Cevap: C
Çözüm: Önce ortalama hesaplanır: (70+80+85+90+75)/5 = 80. Varyans = [(70-80)²+(80-80)²+(85-80)²+(90-80)²+(75-80)²]/5 = 50. Standart sapma = √50 ≈ 7,07
Soru 2: Bir fabrikada üretilen vidaların uzunlukları (mm) ölçülmüş ve şu değerler elde edilmiştir: 19,8; 20,2; 20,0; 19,9; 20,1. Bu verilerin standart sapması için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
a) 0,12'den küçüktür
b) 0,13-0,15 arasındadır
c) 0,16-0,18 arasındadır
d) 0,19-0,21 arasındadır
e) 0,22'den büyüktür
Cevap: B
Çözüm: Ortalama = (19,8+20,2+20,0+19,9+20,1)/5 = 20. Varyans = [(19,8-20)²+(20,2-20)²+(20-20)²+(19,9-20)²+(20,1-20)²]/5 = 0,02. Standart sapma = √0,02 ≈ 0,141
Soru 3: İki farklı sınıftaki öğrencilerin boy uzunlukları ölçülmüştür. A sınıfının standart sapması 3,2 cm, B sınıfının standart sapması 5,8 cm çıkmıştır. Bu sonuçlara göre hangi sınıftaki öğrencilerin boyları birbirine daha yakındır ve bu durum standart sapma ile nasıl ilişkilidir?
a) A sınıfı - Standart sapma küçük olduğunda veriler ortalamadan daha uzaktır
b) B sınıfı - Standart sapma büyük olduğunda veriler birbirine daha yakındır
c) A sınıfı - Standart sapma küçük olduğunda veriler birbirine daha yakındır
d) B sınıfı - Standart sapma büyük olduğunda veriler ortalamaya daha yakındır
e) İki sınıf da aynıdır - Standart sapma verilerin yakınlığı ile ilişkili değildir
Cevap: C
Çözüm: Standart sapma bir veri setindeki değerlerin ortalamadan ne kadar saçıldığını gösterir. Küçük standart sapma, verilerin ortalamaya yakın ve dolayısıyla birbirine yakın olduğunu gösterir. A sınıfının standart sapması daha küçük olduğundan, bu sınıftaki öğrencilerin boyları birbirine daha yakındır.
Standart sapma, bir veri setindeki sayıların aritmetik ortalamadan ne kadar saptığını (uzaklaştığını) ölçen bir istatistiksel dağılım ölçüsüdür. Düşük standart sapma, verilerin ortalamaya yakın olduğunu; yüksek standart sapma ise verilerin geniş bir aralığa yayıldığını gösterir.
Standart sapmayı hesaplamak için şu adımlar izlenir:
Formül olarak ifade edersek, n eleman sayısı, \( x_i \) her bir veri ve \( \bar{x} \) ortalama olmak üzere:
\( s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1}} \)
Bu formül, örneklem standart sapması içindir.
Soru: Bir sınıftaki 5 öğrencinin matematik sınavından aldığı notlar: 70, 80, 90, 60, 100. Bu notların standart sapmasını hesaplayınız.
Çözüm:
\( \bar{x} = \frac{70 + 80 + 90 + 60 + 100}{5} = \frac{400}{5} = 80 \)
100 + 0 + 100 + 400 + 400 = 1000
n = 5 olduğundan, n-1 = 4
Varyans ( \( s^2 \) ) = \( \frac{1000}{4} = 250 \)
Standart Sapma (s) = \( \sqrt{250} \)
\( \sqrt{250} = \sqrt{25 \times 10} = 5\sqrt{10} \approx 5 \times 3.162 \approx 15.81 \)
Cevap: Bu not dağılımının standart sapması yaklaşık 15.81'dir.
Soru: Aşağıdaki tablo bir gruptaki kişilerin yaş dağılımını göstermektedir. Standart sapmayı hesaplayınız.
| Yaş (xi) | Kişi Sayısı (fi) |
|---|---|
| 20 | 2 |
| 25 | 3 |
| 30 | 5 |
Çözüm:
Toplam kişi sayısı (n) = 2 + 3 + 5 = 10
Toplam yaş = (20×2) + (25×3) + (30×5) = 40 + 75 + 150 = 265
Ortalama ( \( \bar{x} \) ) = \( \frac{265}{10} = 26.5 \)
84.5 + 6.75 + 61.25 = 152.5
Varyans ( \( s^2 \) ) = \( \frac{152.5}{n-1} = \frac{152.5}{9} \approx 16.94 \)
Standart Sapma (s) = \( \sqrt{16.94} \approx 4.12 \)
Cevap: Bu yaş dağılımının standart sapması yaklaşık 4.12'dir.
Standart sapma hesaplaması, verilerin ortalamadan ortalama ne kadar uzaklaştığını anlamak için sistematik bir yol sunar. Adımları takip ederek ve dikkatli bir şekilde hesaplama yaparak, hem küçük hem de frekans tablolu veri setlerinin standart sapmasını güvenle bulabilirsiniz.
