Kosinüs teoremi ispatı nedir?

Question

Kosinüs teoreminin ispatını özellikle dik üçgenlerde nasıl kullanacağımı tam olarak anlayamadım. Pisagor teoremiyle benzerlik gösterdiğini biliyorum ama bu bağıntıya nasıl ulaştıklarını kavramakta zorlanıyorum.

Answer 1

Kosinüs Teoremi Nedir?

Kosinüs teoremi, bir üçgenin kenar uzunlukları ile bir açısı arasındaki ilişkiyi veren önemli bir teoremdir. Pisagor teoremini genişletir ve her türlü üçgen (dar, dik, geniş açılı) için geçerlidir.

Teoremin ifadesi şöyledir:

Bir ABC üçgeninde, kenar uzunlukları \( a \), \( b \), \( c \) ve \( a \) kenarının karşısındaki açı \( A \) olmak üzere:

\( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(A) \)

Benzer şekilde, diğer kenarlar için de yazılabilir:

• \( b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(B) \)
• \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \)

Kosinüs Teoremi İspatı

İspatı, üçgenin yüksekliğini çizerek ve Pisagor teoremini kullanarak yapabiliriz. Üç farklı durum (dar açı, dik açı, geniş açı) için ayrı ayrı ispat yapılabilir, ancak en yaygın olanı dar açılı üçgen için yapılan ispattır.

İspat Adımları:

1. Dar açılı bir ABC üçgeni çizelim. \( A \) açısı dar açı olsun. \( C \) köşesinden \( AB \) kenarına bir dikme indirelim (yükseklik). Bu dikmenin ayağı \( D \) noktası olsun.

2. Yükseklik, \( AB \) kenarını iki parçaya ayırır: \( AD \) ve \( DB \). \( AD \) parçasının uzunluğuna \( x \) diyelim. Bu durumda \( DB \)'nin uzunluğu \( c - x \) olur.

3. \( ADC \) dik üçgeninde kosinüs tanımını uygulayalım. Kosinüs, komşu kenarın hipotenüse oranıdır:

   \( \cos(A) = \frac{x}{b} \)

   Buradan \( x = b \cdot \cos(A) \) sonucunu elde ederiz.

4. Şimdi, aynı \( ADC \) dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayalım. \( CD \) yüksekliğinin uzunluğuna \( h \) dersek:

   \( h^2 = b^2 - x^2 \)

5. Şimdi de \( BCD \) dik üçgenine bakalım. Bu üçgende Pisagor teoremini uygularsak:

   \( a^2 = h^2 + (c - x)^2 \)

6. 4. adımda bulduğumuz \( h^2 \) değerini, 5. adımdaki denklemde yerine koyalım:

   \( a^2 = (b^2 - x^2) + (c - x)^2 \)

7. Parantezleri açalım ve sadeleştirelim:

   \( a^2 = b^2 - x^2 + c^2 - 2cx + x^2 \)

   \( -x^2 \) ve \( +x^2 \) birbirini götürür:

   \( a^2 = b^2 + c^2 - 2cx \)

8. 3. adımdan \( x = b \cdot \cos(A) \) olduğunu biliyoruz. Bunu yerine koyalım:

   \( a^2 = b^2 + c^2 - 2c \cdot (b \cdot \cos(A)) \)

   \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(A) \)

Böylece kosinüs teoremini ispatlamış olduk. Açının dik veya geniş olması durumunda da benzer yöntemlerle (işaret değişiklikleriyle birlikte) aynı formüle ulaşılabilir.

Önemli Not

Eğer \( A \) açısı 90° olursa, \( \cos(90°) = 0 \) olacağı için formül \( a^2 = b^2 + c^2 \) şekline dönüşür. Bu, bize kosinüs teoreminin Pisagor teoremini de kapsadığını gösterir.