🎓 10. Sınıf Karesel Fonksiyonlar (Parabol) Test 2 - Ders Notu
Bu ders notu, 10. sınıf matematik dersinde karesel fonksiyonlar (parabol) konusunu kapsayan bir test için hazırlanmıştır. Parabolün denklemi, grafiği, tepe noktası, eksenleri kestiği noktalar ve denklemden grafik çizimi gibi temel konuları içermektedir.
📌 Karesel Fonksiyonun Tanımı ve Genel Formu
Karesel fonksiyon, genel olarak $f(x) = ax^2 + bx + c$ şeklinde ifade edilen ve grafiği parabol olan bir fonksiyondur. Burada $a$, $b$ ve $c$ reel sayılardır ve $a \neq 0$ olmalıdır.
- $a$, parabolün kollarının yönünü belirler. $a > 0$ ise kollar yukarı, $a < 0$ ise kollar aşağı doğrudur.
- $x$, bağımsız değişkeni temsil eder.
- $f(x)$ veya $y$, bağımlı değişkeni (fonksiyonun değerini) temsil eder.
⚠️ Dikkat: $a=0$ olursa, fonksiyon karesel olmaktan çıkar ve doğrusal bir fonksiyon haline gelir.
📌 Parabolün Grafiği
Karesel fonksiyonun grafiği, bir parabol eğrisidir. Parabolün temel özellikleri arasında tepe noktası, simetri ekseni ve eksenleri kestiği noktalar bulunur.
- Tepe Noktası: Parabolün en yüksek veya en düşük noktasıdır. Koordinatları $T(r, k)$ şeklinde gösterilir. $r = -\frac{b}{2a}$ ve $k = f(r)$ formülleriyle bulunur.
- Simetri Ekseni: Parabolü tam ortadan ikiye bölen dikey doğrudur. Denklemi $x = r$ şeklindedir.
- Eksenleri Kestiği Noktalar:
- $x$ eksenini kestiği noktalar, $f(x) = 0$ denkleminin kökleridir. Bu kökler, parabolün $x$ eksenini kestiği noktalardır. Kök yoksa, parabol $x$ eksenine değmez.
- $y$ eksenini kestiği nokta, $x = 0$ için $f(0) = c$ değeridir. Yani $(0, c)$ noktasıdır.
💡 İpucu: Tepe noktasının apsisi (r), aynı zamanda simetri ekseninin denklemidir.
📌 Parabolün Denklemi ve Tepe Noktası Formu
Parabolün denklemi, tepe noktası biliniyorsa daha kolay yazılabilir. Tepe noktası $T(r, k)$ olan bir parabolün denklemi $f(x) = a(x - r)^2 + k$ şeklindedir.
- Bu formül, özellikle tepe noktası verilen sorularda denklemi bulmayı kolaylaştırır.
- $a$ değeri, parabolün kollarının yönünü ve açıklığını belirler.
📝 Örnek: Tepe noktası $T(2, -1)$ ve $a=2$ olan bir parabolün denklemi $f(x) = 2(x - 2)^2 - 1$ olur.
📌 Diskriminant (Δ) ve Kökler
Karesel denklemin köklerini bulmak için diskriminant kullanılır. Diskriminant, $\Delta = b^2 - 4ac$ formülü ile hesaplanır.
- $\Delta > 0$ ise, denklemin iki farklı reel kökü vardır. Parabol $x$ eksenini iki farklı noktada keser.
- $\Delta = 0$ ise, denklemin birbirine eşit iki reel kökü (çakışık kök) vardır. Parabol $x$ eksenine teğettir.
- $\Delta < 0$ ise, denklemin reel kökü yoktur. Parabol $x$ eksenini kesmez.
⚠️ Dikkat: $\Delta$'nın işareti, parabolün $x$ ekseni ile olan ilişkisini belirler. Kökler $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ ve $x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ formülleri ile bulunur.
📌 Parabol Grafiği Çizimi
Bir parabolün grafiğini çizmek için aşağıdaki adımlar izlenebilir:
- Adım 1: $a$ değerine bakarak kolların yönünü belirleyin.
- Adım 2: Tepe noktasının koordinatlarını bulun ($T(r, k)$).
- Adım 3: Eksenleri kestiği noktaları bulun. $x$ eksenini kestiği noktalar için $f(x) = 0$ denklemini çözün, $y$ eksenini kestiği nokta için $x = 0$ değerini yerine koyun.
- Adım 4: Bulduğunuz noktaları koordinat sistemine yerleştirin ve parabolü çizin.
💡 İpucu: Simetri eksenini kullanarak, bulduğunuz noktalara göre grafiği daha doğru çizebilirsiniz.
