Aşağıdaki özdeşliklerden hangisi yanlıştır?
A) $(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$
B) $(2y-3)^2 = 4y^2 - 12y + 9$
C) $(a-b)^2 = a^2 - b^2$
D) $(4k-5)^2 = 16k^2 - 40k + 25$
Sevgili öğrenciler, bu soruda bize verilen özdeşliklerden hangisinin yanlış olduğunu bulmamız isteniyor. Özdeşlikler, değişkenlerin her değeri için doğru olan eşitliklerdir. Bu tür sorularda genellikle iki terimin farkının karesi özdeşliğini kullanırız.
İki terimin farkının karesi özdeşliği şöyledir:
- $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$
Şimdi her bir seçeneği bu özdeşliğe göre adım adım inceleyelim:
- A) $(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$
Burada $A=x$ ve $B=1$ alırsak, iki terimin farkının karesi özdeşliğini uygulayalım: $(x-1)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 - 2x + 1$. Bu ifade doğrudur.
- B) $(2y-3)^2 = 4y^2 - 12y + 9$
Burada $A=2y$ ve $B=3$ alırsak, iki terimin farkının karesi özdeşliğini uygulayalım: $(2y-3)^2 = (2y)^2 - 2 \cdot (2y) \cdot 3 + 3^2 = 4y^2 - 12y + 9$. Bu ifade doğrudur.
- C) $(a-b)^2 = a^2 - b^2$
Burada $A=a$ ve $B=b$ alırsak, iki terimin farkının karesi özdeşliğine göre $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ olması gerekir. Ancak seçenekte verilen ifade $a^2 - b^2$'dir. Bu ifade iki kare farkı özdeşliğidir ve $(a-b)(a+b)$ şeklinde açılır. Görüldüğü gibi $(a-b)^2$ ile $a^2 - b^2$ birbirine eşit değildir. Bu ifade yanlıştır.
- D) $(4k-5)^2 = 16k^2 - 40k + 25$
Burada $A=4k$ ve $B=5$ alırsak, iki terimin farkının karesi özdeşliğini uygulayalım: $(4k-5)^2 = (4k)^2 - 2 \cdot (4k) \cdot 5 + 5^2 = 16k^2 - 40k + 25$. Bu ifade doğrudur.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, C seçeneğindeki özdeşliğin yanlış olduğunu görmüş olduk. $(a-b)^2$ ifadesinin açılımı $a^2 - 2ab + b^2$ iken, $a^2 - b^2$ ifadesi $(a-b)(a+b)$ şeklinde çarpanlarına ayrılır. Bu iki ifade birbirine eşit değildir.
Cevap C seçeneğidir.
