Sevgili öğrenciler, bir noktanın bir doğruya olan uzaklığını bulmak için özel bir formül kullanırız. Bu formül, koordinat sistemindeki geometri problemlerini çözmek için çok güçlü bir araçtır. Şimdi, adım adım bu soruyu çözelim:
- 1. Adım: Nokta ve Doğru Denklemini Tanımlayalım
- Bize verilen nokta $A(-1,2)$'dir. Bu noktayı genel formülümüzdeki $(x_0, y_0)$ olarak düşünebiliriz. Yani, $x_0 = -1$ ve $y_0 = 2$.
- Bize verilen doğru denklemi $2x - y + 3 = 0$'dır. Bu denklemi genel doğru denklemi $Ax + By + C = 0$ ile karşılaştırırsak, katsayıları belirleyebiliriz: $A = 2$, $B = -1$ ve $C = 3$.
- 2. Adım: Noktanın Doğruya Uzaklık Formülünü Hatırlayalım
- Bir $P(x_0, y_0)$ noktasının $Ax + By + C = 0$ doğrusuna olan uzaklığı $d$ aşağıdaki formülle bulunur:
- $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
- Bu formül, noktanın doğruya dik uzaklığını verir ve mutlak değer sayesinde uzaklığın her zaman pozitif olmasını sağlar.
- 3. Adım: Değerleri Formülde Yerine Koyalım
- Şimdi, belirlediğimiz $x_0, y_0, A, B, C$ değerlerini formüle yerleştirelim:
- $d = \frac{|(2)(-1) + (-1)(2) + 3|}{\sqrt{(2)^2 + (-1)^2}}$
- 4. Adım: Pay Kısmını (Mutlak Değer İçini) Hesaplayalım
- Pay kısmındaki işlemleri yapalım:
- $|(2)(-1) + (-1)(2) + 3| = |-2 - 2 + 3|$
- $= |-4 + 3|$
- $= |-1|$
- $= 1$
- 5. Adım: Payda Kısmını (Kök İçini) Hesaplayalım
- Payda kısmındaki karekök içindeki işlemleri yapalım:
- $\sqrt{(2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1}$
- $= \sqrt{5}$
- 6. Adım: Uzaklığı Bulalım
- Şimdi pay ve payda kısımlarını birleştirerek uzaklığı bulalım:
- $d = \frac{1}{\sqrt{5}}$
- Matematikte genellikle paydada köklü ifade bırakmayız. Bu ifadeyi eşleniği ile çarparak paydayı rasyonel hale getirelim:
- $d = \frac{1}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$
- $d = \frac{\sqrt{5}}{5}$ birimdir.
Cevap A seçeneğidir.
