Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bir parabolün tepe noktasının koordinatlarını kullanarak görüntü kümesinin en küçük elemanını bulmayı ve bu bilgiyi kullanarak bilinmeyen bir katsayıyı (m) hesaplamayı öğreneceğiz. Adım adım ilerleyelim:
- Fonksiyonu Tanıyalım: Bize verilen fonksiyon $f(x) = x^2 - 6x + m - 2$ bir parabol denklemidir. Bu tür fonksiyonlara ikinci dereceden fonksiyonlar denir.
- Parabolün Yönünü Belirleyelim: Bir parabolün yönü, $x^2$ teriminin katsayısına bağlıdır. Burada $x^2$ teriminin katsayısı $1$ (pozitif) olduğu için parabolün kolları yukarıya doğru açılır.
- Görüntü Kümesinin En Küçük Elemanı ve Tepe Noktası İlişkisi: Kolları yukarıya doğru açılan bir parabolün alabileceği en küçük değer, parabolün tepe noktasının y-koordinatıdır. Yani, görüntü kümesinin en küçük elemanı tepe noktasının y-değeridir.
- Tepe Noktasının x-Koordinatını Bulalım: Genel bir ikinci dereceden fonksiyon $ax^2 + bx + c$ için tepe noktasının x-koordinatı $x_v = -\frac{b}{2a}$ formülüyle bulunur.
- Bizim fonksiyonumuzda $a = 1$, $b = -6$ ve $c = m - 2$'dir.
- $x_v = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$ olur.
- Tepe Noktasının y-Koordinatını (Minimum Değeri) Bulalım: Tepe noktasının x-koordinatını ($x_v = 3$) fonksiyonda yerine yazarak y-koordinatını, yani fonksiyonun alabileceği en küçük değeri buluruz.
- $f(3) = (3)^2 - 6(3) + m - 2$
- $f(3) = 9 - 18 + m - 2$
- $f(3) = -9 + m - 2$
- $f(3) = m - 11$
- Verilen Bilgiyi Kullanalım: Soruda bize görüntü kümesinin en küçük elemanının $3$ olduğu verilmişti. Biz de bu en küçük elemanı $m - 11$ olarak bulduk. Bu iki ifadeyi birbirine eşitleyelim:
- m Değerini Hesaplayalım: Şimdi denklemi çözerek $m$ değerini bulalım:
Böylece, $m$ değerini $14$ olarak bulmuş olduk.
Cevap D seçeneğidir.
