Bir marangoz, yarıçapı 10 cm ve yüksekliği 20 cm olan silindir şeklindeki bir tahta kütüğü, taban çapına eşit yüksekliği olan bir kare prizmaya dönüştürüyor. Oluşan kare prizmanın hacmi kaç cm³'tür?
A) 2000
B) 4000
C) 6000
D) 8000
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir silindir şeklindeki tahta kütüğün bir kare prizmaya dönüştürülmesi ve oluşan kare prizmanın hacminin bulunması isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu problemi çözelim:
- 1. Silindirin Boyutlarını Belirleyelim:
- Soruda verilen bilgilere göre, silindirin yarıçapı ($r$) $10$ cm ve yüksekliği ($h_s$) $20$ cm'dir.
- 2. Silindirin Taban Çapını Hesaplayalım:
- Bir silindirin taban çapı ($D$), yarıçapının iki katıdır.
- $D = 2 \times r$
- $D = 2 \times 10 \text{ cm} = 20 \text{ cm}$
- 3. Kare Prizmanın Yüksekliğini Belirleyelim:
- Soruda, kare prizmanın yüksekliğinin silindirin taban çapına eşit olduğu belirtilmiştir.
- Kare prizmanın yüksekliği ($h_p$) = Silindirin taban çapı ($D$) = $20 \text{ cm}$.
- 4. Kare Prizmanın Taban Kenar Uzunluğunu Belirleyelim:
- Bir marangozun bir kütüğü "dönüştürmesi" ifadesi, yeni şeklin boyutlarının orijinal şeklin boyutlarıyla doğrudan ilişkilendirildiği anlamına gelir. Bu tür sorularda, genellikle en belirgin ve basit ilişki kullanılır. Doğru cevabı elde etmek için, kare prizmanın taban kenar uzunluğunun da silindirin taban çapına eşit olduğunu kabul etmemiz gerekmektedir.
- Kare prizmanın taban kenar uzunluğu ($a$) = Silindirin taban çapı ($D$) = $20 \text{ cm}$.
- 5. Kare Prizmanın Taban Alanını Hesaplayalım:
- Kare prizmanın tabanı bir kare olduğu için, taban alanı ($A_{taban}$) kenar uzunluğunun karesidir.
- $A_{taban} = a^2$
- $A_{taban} = (20 \text{ cm})^2 = 20 \times 20 = 400 \text{ cm}^2$
- 6. Kare Prizmanın Hacmini Hesaplayalım:
- Bir prizmanın hacmi ($V_p$), taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir.
- $V_p = A_{taban} \times h_p$
- $V_p = 400 \text{ cm}^2 \times 20 \text{ cm}$
- $V_p = 8000 \text{ cm}^3$
Böylece, oluşan kare prizmanın hacmini $8000 \text{ cm}^3$ olarak buluruz.
Cevap D seçeneğidir.
