Kuvvet hareket eden bir cismi nasıl etkiler Test 2

Kütlesi 2 kg olan bir cisim, yatay düzlemde F = 6x + 4 (N) şeklinde değişen bir kuvvetin etkisinde hareket ediyor. Cismin x = 0'dan x = 2 metreye kadar hareketi sırasında kuvvetin yaptığı iş kaç joule'dür?

A) 16
B) 18
C) 20
D) 22

Sevgili öğrenciler, bu soruda kütlesi verilen bir cismin, konuma bağlı olarak değişen bir kuvvetin etkisi altında yaptığı işi hesaplayacağız. Değişen kuvvetin yaptığı işi bulmak için integral yöntemini kullanmamız gerektiğini unutmayın. Haydi adım adım bu problemi çözelim!

• 1. Verilenleri Anlayalım:

  Öncelikle soruda bize hangi bilgiler verilmiş ve bizden ne isteniyor, bunları netleştirelim:

  • Cismin kütlesi: $m = 2$ kg (Bu bilgi, iş hesaplaması için doğrudan kullanılmasa da, sorunun bağlamını oluşturur.)
  • Kuvvet fonksiyonu: $F(x) = 6x + 4$ N. Gördüğünüz gibi, kuvvetin değeri cismin konumuna ($x$) göre değişiyor.
  • Başlangıç konumu: $x_1 = 0$ m
  • Bitiş konumu: $x_2 = 2$ m
  • Bizden istenen: Cismin $x = 0$'dan $x = 2$ metreye kadar hareketi sırasında kuvvetin yaptığı iş ($W$).
• 2. İş Formülünü Hatırlayalım:

  Sabit bir kuvvetin yaptığı iş $W = F \cdot \Delta x$ formülüyle bulunurken, kuvvet konuma göre değişiyorsa (yani $F(x)$ şeklinde bir fonksiyon ise), yapılan işi bulmak için kuvvet fonksiyonunun belirli integralini almamız gerekir. İşin genel formülü şöyledir:

  $W = \int_{x_1}^{x_2} F(x) dx$

• 3. Değerleri Formülde Yerine Koyalım:

  Şimdi, verilen kuvvet fonksiyonunu ve hareketin başlangıç ve bitiş konumlarını integral formülüne yerleştirelim:

  $W = \int_{0}^{2} (6x + 4) dx$

• 4. İntegrali Çözelim:

  Bu belirli integrali adım adım çözelim. İntegral alma kurallarını hatırlayalım: $\int ax^n dx = a \frac{x^{n+1}}{n+1}$ ve $\int a dx = ax$.

  • Önce integral alma işlemini gerçekleştirelim:
  • $\int (6x + 4) dx = \int 6x dx + \int 4 dx$
  • $= 6 \frac{x^{1+1}}{1+1} + 4x$
  • $= 6 \frac{x^2}{2} + 4x$
  • $= 3x^2 + 4x$
• 5. İntegral Limitlerini Uygulayalım:

  Şimdi bulduğumuz ifadeye üst ve alt limitleri uygulayarak işin değerini hesaplayalım. Belirli integralin değeri, üst limitin yerine konulmasıyla elde edilen değerden, alt limitin yerine konulmasıyla elde edilen değerin çıkarılmasıyla bulunur:

  $W = [3x^2 + 4x]_{0}^{2}$

  $W = (3(2)^2 + 4(2)) - (3(0)^2 + 4(0))$

  $W = (3 \times 4 + 8) - (0 + 0)$

  $W = (12 + 8) - 0$

  $W = 20$ J

• 6. Sonucu Belirtelim:

  Yapılan işin değeri $20$ Joule'dür.

Cevap C seçeneğidir.