Denklemi y = 5x - 2 olan doğruya dik olan ve A(1, 3) noktasından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = -5x + 8
B) y = \( -\frac{1}{5}x + \frac{16}{5} \)
C) y = \( \frac{1}{5}x + \frac{14}{5} \)
D) y = -5x - 2
Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bir doğruya dik olan ve belirli bir noktadan geçen başka bir doğrunun denklemini bulacağız. Adım adım ilerleyelim ve bu konuyu iyice kavrayalım.
- Adım 1: Verilen Doğrunun Eğimini Bulma
- Öncelikle, bize verilen doğrunun denklemi $y = 5x - 2$'dir. Bir doğrunun denklemi $y = mx + b$ şeklinde verildiğinde, $m$ değeri doğrunun eğimini temsil eder. Bu durumda, verilen doğrunun eğimi $m_1 = 5$'tir.
- Adım 2: Dik Doğrunun Eğimini Bulma
- İki doğru birbirine dik ise, eğimlerinin çarpımı $-1$'e eşittir. Yani, $m_1 \cdot m_2 = -1$ olmalıdır. Bizim bulmak istediğimiz doğrunun eğimi $m_2$ olsun.
- $5 \cdot m_2 = -1$
- Her iki tarafı $5$'e bölersek, $m_2 = -\frac{1}{5}$ olarak bulunur. Bu, aradığımız doğrunun eğimidir.
- Adım 3: Nokta-Eğim Formülünü Kullanarak Doğru Denklemini Yazma
- Şimdi, eğimi $m_2 = -\frac{1}{5}$ olan ve $A(1, 3)$ noktasından geçen doğrunun denklemini bulmalıyız. Bir noktası $(x_1, y_1)$ ve eğimi $m$ olan doğrunun denklemi $y - y_1 = m(x - x_1)$ formülüyle bulunur.
- Burada $(x_1, y_1) = (1, 3)$ ve $m = -\frac{1}{5}$ değerlerini yerine koyalım:
- $y - 3 = -\frac{1}{5}(x - 1)$
- Adım 4: Denklemi Düzenleyerek $y = mx + b$ Şekline Getirme
- Denklemi daha anlaşılır bir form olan $y = mx + b$ şekline dönüştürelim:
- $y - 3 = -\frac{1}{5}x + (-\frac{1}{5})(-1)$
- $y - 3 = -\frac{1}{5}x + \frac{1}{5}$
- Şimdi, $-3$'ü eşitliğin sağ tarafına atalım (yani her iki tarafa $3$ ekleyelim):
- $y = -\frac{1}{5}x + \frac{1}{5} + 3$
- Sağ taraftaki sabit terimleri toplamak için $3$'ü paydası $5$ olacak şekilde yazalım: $3 = \frac{15}{5}$
- $y = -\frac{1}{5}x + \frac{1}{5} + \frac{15}{5}$
- $y = -\frac{1}{5}x + \frac{1 + 15}{5}$
- $y = -\frac{1}{5}x + \frac{16}{5}$
Bulduğumuz bu denklem, seçeneklerdeki B seçeneği ile aynıdır.
Cevap B seçeneğidir.
