Analitik düzlemde iki doğrunun birbirine dik olması, aralarındaki açının 90° olması demektir. Bu durumda doğruların eğimleri arasında çok önemli bir ilişki vardır.
Analitik düzlemde birbirine dik olan (dik kesişen) iki doğrunun eğimleri çarpımı -1'e eşittir.
Eğimleri sırasıyla \( m_1 \) ve \( m_2 \) olan iki doğru birbirine dik ise:
\( m_1 \cdot m_2 = -1 \)
Bir doğrunun x-ekseni ile yaptığı açıya \( \alpha \) dersek, eğimi \( m_1 = \tan(\alpha) \) olur.
Bu doğruya dik olan bir başka doğrunun x-ekseni ile yaptığı açı, \( \alpha \)'dan 90° fazla olacaktır, yani \( \alpha + 90° \).
İkinci doğrunun eğimi ise \( m_2 = \tan(\alpha + 90°) \) olur.
Trigonometriden bildiğimiz bir kurala göre: \( \tan(\alpha + 90°) = -\cot(\alpha) = -\frac{1}{\tan(\alpha)} \)
Bu durumda:
\( m_2 = -\frac{1}{m_1} \)
İki tarafı \( m_1 \) ile çarparsak:
\( m_1 \cdot m_2 = -1 \) sonucuna ulaşırız.
Soru: \( y = 2x + 5 \) doğrusuna dik olan ve orijinden (0,0) geçen doğrunun denklemini bulunuz.
Çözüm:
Cevap: \( y = -\frac{1}{2}x \)
Soru 1: Analitik düzlemde denklemleri \( 2x - 3y + 5 = 0 \) ve \( ax + 6y - 1 = 0 \) olan iki doğru birbirine diktir. Buna göre \( a \) kaçtır?
a) 4 b) 6 c) 9 d) 12 e) 18
Cevap: c) 9
Çözüm: Birinci doğrunun eğimi \( m_1 = -\frac{A}{B} = -\frac{2}{-3} = \frac{2}{3} \), ikinci doğrunun eğimi \( m_2 = -\frac{a}{6} \). Doğrular dik olduğu için \( m_1 \cdot m_2 = -1 \) olmalıdır. \( \frac{2}{3} \cdot (-\frac{a}{6}) = -1 \) denklemi çözülürse \( -\frac{2a}{18} = -1 \Rightarrow -2a = -18 \Rightarrow a = 9 \) bulunur.
Soru 2: Koordinat düzleminde \( A(2, 5) \) ve \( B(-1, 3) \) noktalarından geçen doğruya dik olan bir doğrunun eğimi aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( -\frac{3}{2} \) b) \( \frac{2}{3} \) c) \( \frac{3}{2} \) d) \( -\frac{2}{3} \) e) \( -1 \)
Cevap: a) \( -\frac{3}{2} \)
Çözüm: İlk doğrunun eğimi \( m_1 = \frac{3-5}{-1-2} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3} \)'tür. Dik doğrunun eğimi \( m_2 \), \( m_1 \cdot m_2 = -1 \) bağıntısını sağlamalıdır. \( \frac{2}{3} \cdot m_2 = -1 \Rightarrow m_2 = -\frac{3}{2} \) olarak bulunur.
Soru 3: Eğimleri sırasıyla \( \frac{1}{4} \) ve \( m \) olan iki doğru birbirine diktir. Bu doğrulardan biri \( y = 3x + 2 \) doğrusuna paralel olduğuna göre, \( m \) kaçtır?
a) -4 b) \( -\frac{1}{4} \) c) \( \frac{1}{3} \) d) -3 e) 4
Cevap: a) -4
Çözüm: Verilen \( y = 3x + 2 \) doğrusunun eğimi 3'tür. Soruda eğimi \( \frac{1}{4} \) olan doğru bu doğruya paralel olamayacağı için, eğimi \( m \) olan doğru \( y = 3x + 2 \)'ye paralel olmalıdır. Dolayısıyla \( m = 3 \) olur. Diklik şartından \( \frac{1}{4} \cdot 3 = -1 \) denklemi sağlanmaz. Bu durumda eğimi \( \frac{1}{4} \) olan doğru paraleldir, yani \( \frac{1}{4} = 3 \) olamayacağı için bu kısım yanlış yorumlanmıştır. Doğru çözüm: Eğimi \( \frac{1}{4} \) olan doğru, eğimi 3 olan doğruya dik değildir (\( \frac{1}{4} \cdot 3 \neq -1 \)). Soruda iki doğru birbirine dik ve aynı zamanda birisi \( y=3x+2 \)'ye paralel. Eğimi \( m \) olan doğru paralel ise \( m=3 \) olur. Diklik için \( \frac{1}{4} \cdot 3 = -1 \) sağlanmadığına göre, eğimi \( \frac{1}{4} \) olan doğru paralel olmalıdır. Bu durumda \( \frac{1}{4} = 3 \) olamayacağı için soruya tekrar bakılırsa: İki doğru birbirine
