Bir sınıfta doğum günleri aynı olan en az 3 öğrenci bulunduğu biliniyor. Bu sınıfta en az kaç öğrenci vardır? (Bir yılda 365 gün olduğunu varsayalım)
A) 729Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problem, güvercin yuvası ilkesi (Pigeonhole Principle) adı verilen temel bir matematiksel prensibi kullanarak çözülebilecek eğlenceli bir mantık sorusudur. Amacımız, en az 3 öğrencinin doğum gününün aynı olmasını garantileyecek minimum öğrenci sayısını bulmaktır. Bunu yapmak için, "en kötü senaryoyu" düşünmeliyiz.
Bir sınıfta doğum günleri aynı olan en az 3 öğrenci bulunmasını garanti etmek istiyoruz. Bir yılda 365 gün olduğunu biliyoruz.
En az 3 öğrencinin doğum gününün aynı olmasını garantilemek için, bu durumun en son ne zaman gerçekleşeceğini hayal etmeliyiz. Yani, 3 öğrencinin doğum gününün aynı olmasını olabildiğince uzun süre engelleyerek kaç öğrenci yerleştirebiliriz?
Her bir gün için, 3 öğrencinin aynı doğum gününe sahip olmasını engellemek amacıyla, her güne en fazla 2 öğrenci atayabiliriz. Eğer bir güne 3 öğrenci atarsak, o zaman zaten garantilemiş oluruz. Bu yüzden, her güne 2 öğrenci atayarak ilerleyelim.
Örneğin:
1 Ocak'ta 2 öğrenci doğmuş olsun.
2 Ocak'ta 2 öğrenci doğmuş olsun.
... (bu şekilde devam ederek)
31 Aralık'ta 2 öğrenci doğmuş olsun.
Bu şekilde, her bir güne 2 öğrenci düşecek şekilde dağıtım yaparsak, henüz hiçbir günde 3 öğrenci aynı doğum gününe sahip olmamış olur.
Bir yılda 365 gün vardır. Eğer her güne 2 öğrenci düşecek şekilde dağıtım yaparsak, toplam öğrenci sayısı şu şekilde olur:
$365 \text{ gün} \times 2 \text{ öğrenci/gün} = 730 \text{ öğrenci}$
Bu 730 öğrenci içinde, hiçbir gün için 3 öğrencinin doğum günü aynı değildir. Her gün için ya 0, ya 1, ya da 2 öğrenci vardır.
Şimdi 730 öğrencimiz var ve henüz hiçbir günde 3 öğrencinin doğum günü aynı değil. Eğer bu sınıfa bir öğrenci daha eklersek (yani 731. öğrenci), bu öğrencinin doğum günü mutlaka mevcut 365 günden birine denk gelecektir.
Bu yeni öğrencinin doğum günü hangi güne denk gelirse gelsin, o gün zaten 2 öğrenciye sahip olduğu için, o günkü öğrenci sayısı 3'e yükselecektir. Böylece, en az 3 öğrencinin doğum gününün aynı olması garantilenmiş olur.
Dolayısıyla, en az 3 öğrencinin doğum gününün aynı olmasını garanti etmek için sınıfta bulunması gereken minimum öğrenci sayısı:
$730 + 1 = 731 \text{ öğrenci}$
Cevap C seçeneğidir.
