Kombinasyon özellikleri Test 2

C(n, 0) + C(n, 1) + C(n, 2) = 22 eşitliğini sağlayan n değeri için C(n, 4) ifadesinin değeri kaçtır?

A) 15
B) 35
C) 70
D) 126

Verilen eşitliği sağlayan $n$ değerini bulmak için adım adım ilerleyelim. Ardından bu $n$ değerini kullanarak $C(n, 4)$ ifadesinin değerini hesaplayalım.

• Adım 1: Kombinasyon ifadelerini açalım.

  Kombinasyon formülü $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ şeklindedir. Bu formülü kullanarak verilen eşitlikteki terimleri yazalım:

  • $C(n, 0)$: $n$ elemanlı bir kümeden 0 eleman seçme sayısıdır. Her zaman 1'e eşittir. Yani, $C(n, 0) = 1$.
  • $C(n, 1)$: $n$ elemanlı bir kümeden 1 eleman seçme sayısıdır. Her zaman $n$'e eşittir. Yani, $C(n, 1) = n$.
  • $C(n, 2)$: $n$ elemanlı bir kümeden 2 eleman seçme sayısıdır. Bu ifadeyi formülle açarsak: $C(n, 2) = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n \times (n-1) \times (n-2)!}{2 \times 1 \times (n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$.
• Adım 2: Verilen eşitlikte bu ifadeleri yerine koyalım.

  Verilen eşitlik $C(n, 0) + C(n, 1) + C(n, 2) = 22$ idi. Yerine koyduğumuzda:

  $1 + n + \frac{n(n-1)}{2} = 22$

• Adım 3: Eşitliği çözerek $n$ değerini bulalım.

  Denklemi basitleştirelim. Öncelikle kesirden kurtulmak için tüm denklemi 2 ile çarpalım:

  $2 \times (1) + 2 \times (n) + 2 \times \left(\frac{n(n-1)}{2}\right) = 2 \times (22)$

  $2 + 2n + n(n-1) = 44$

  $2 + 2n + n^2 - n = 44$

  Terimleri düzenleyelim ve denklemi standart bir ikinci dereceden denklem formuna getirelim ($ax^2 + bx + c = 0$):

  $n^2 + (2n - n) + 2 = 44$

  $n^2 + n + 2 = 44$

  $n^2 + n + 2 - 44 = 0$

  $n^2 + n - 42 = 0$

  Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak çözebiliriz. Çarpımları $-42$ ve toplamları $1$ olan iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar $7$ ve $-6$'dır.

  $(n + 7)(n - 6) = 0$

  Buradan iki olası $n$ değeri elde ederiz:

  • $n + 7 = 0 \implies n = -7$
  • $n - 6 = 0 \implies n = 6$

  Kombinasyonlarda $n$ değeri negatif olamaz (bir kümenin eleman sayısı negatif olamaz). Ayrıca $n \ge k$ koşulu da sağlanmalıdır. Bu nedenle $n = 6$ değerini alırız.

• Adım 4: Bulduğumuz $n$ değeri için $C(n, 4)$ ifadesinin değerini hesaplayalım.

  $n = 6$ olduğuna göre, bizden $C(6, 4)$ ifadesinin değeri istenmektedir.

  $C(6, 4) = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!}$

  Faktöriyelleri açarak sadeleştirelim:

  $C(6, 4) = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (2 \times 1)}$

  $C(6, 4) = \frac{6 \times 5}{2 \times 1}$

  $C(6, 4) = \frac{30}{2}$

  $C(6, 4) = 15$

Bu durumda, $C(n, 4)$ ifadesinin değeri $15$'tir.

Cevap B seçeneğidir.