Heron (Ulu) alan formülü nedir Test 1

Bir üçgenin alanı 84 cm² ve iki kenarının uzunluğu 14 cm ve 13 cm'dir. Üçüncü kenarın uzunluğu kaç cm'dir?

A) 15
B) 16
C) 17
D) 18

Bu soruda, bir üçgenin alanını ve iki kenar uzunluğunu biliyoruz. Üçüncü kenarın uzunluğunu bulmak için üçgenin alan formülünü ve kosinüs teoremini kullanacağız. Adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Üçgenin iki kenarı arasındaki açının sinüsünü bulma.

  Bir üçgenin alanı, iki kenarının uzunluğu ve bu iki kenar arasındaki açının sinüsü kullanılarak aşağıdaki formülle hesaplanır:

  Alan $= \frac{1}{2}ab \sin C$

  Burada Alan $= 84 \text{ cm}^2$, $a = 14 \text{ cm}$ ve $b = 13 \text{ cm}$ olarak verilmiştir. Bu değerleri formülde yerine koyalım:

  $84 = \frac{1}{2} \times 14 \times 13 \times \sin C$

  $84 = 7 \times 13 \times \sin C$

  $84 = 91 \times \sin C$

  Şimdi $\sin C$ değerini bulmak için her iki tarafı $91$'e bölelim:

  $\sin C = \frac{84}{91}$

  Kesri sadeleştirelim (her iki sayıyı da $7$'ye bölebiliriz):

  $\sin C = \frac{12}{13}$

• Adım 2: Aynı açının kosinüsünü bulma.

  Trigonometrik özdeşliklerden $\sin^2 C + \cos^2 C = 1$ olduğunu biliyoruz. Bulduğumuz $\sin C$ değerini bu özdeşlikte yerine koyalım:

  $(\frac{12}{13})^2 + \cos^2 C = 1$

  $\frac{144}{169} + \cos^2 C = 1$

  Şimdi $\cos^2 C$ değerini bulmak için $\frac{144}{169}$'u eşitliğin diğer tarafına atalım:

  $\cos^2 C = 1 - \frac{144}{169}$

  $\cos^2 C = \frac{169 - 144}{169}$

  $\cos^2 C = \frac{25}{169}$

  Şimdi $\cos C$ değerini bulmak için karekök alalım:

  $\cos C = \pm \sqrt{\frac{25}{169}}$

  $\cos C = \pm \frac{5}{13}$

  Bir üçgenin açısı hem dar açı (kosinüs pozitif) hem de geniş açı (kosinüs negatif) olabilir. Bu yüzden iki durumu da değerlendirmemiz gerekiyor.

• Adım 3: Kosinüs Teoremi'ni kullanarak üçüncü kenarı bulma.

  Üçüncü kenarı ($c$) bulmak için Kosinüs Teoremi'ni kullanacağız:

  $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$

  Burada $a = 14 \text{ cm}$ ve $b = 13 \text{ cm}$'dir.

  Durum 1: $\cos C = \frac{5}{13}$ (Açı dar ise)

  $c^2 = 14^2 + 13^2 - 2 \times 14 \times 13 \times \frac{5}{13}$

  $c^2 = 196 + 169 - 2 \times 14 \times 5$

  $c^2 = 365 - 140$

  $c^2 = 225$

  $c = \sqrt{225}$

  $c = 15 \text{ cm}$

  Durum 2: $\cos C = -\frac{5}{13}$ (Açı geniş ise)

  $c^2 = 14^2 + 13^2 - 2 \times 14 \times 13 \times (-\frac{5}{13})$

  $c^2 = 196 + 169 + 2 \times 14 \times 5$

  $c^2 = 365 + 140$

  $c^2 = 505$

  $c = \sqrt{505}$

  $\sqrt{505}$ yaklaşık olarak $22.47 \text{ cm}$'dir. Seçenekler arasında tam sayı olduğu için bu durumdaki sonuç seçeneklere uymamaktadır.

Bulduğumuz $c = 15 \text{ cm}$ değeri seçenekler arasında yer almaktadır.

Cevap A seçeneğidir.