Sevgili öğrenciler, bu soruda bir binom ifadenin karesini almamız isteniyor. Yani $(a-b)^2$ şeklindeki bir ifadenin açılımını kullanacağız. Adım adım ilerleyelim:
- Öncelikle, bize verilen ifade $(5 - 2\sqrt{3})^2$ şeklindedir. Bu ifade, iki terimin farkının karesi özdeşliğine uymaktadır.
- Hatırlayalım: $(a-b)^2$ özdeşliğinin açılımı $a^2 - 2ab + b^2$ şeklindedir.
- Şimdi, verilen ifadede $a$ ve $b$ değerlerini belirleyelim: Burada $a = 5$ ve $b = 2\sqrt{3}$'tür. (DİKKAT: Özdeşlikte eksi işareti zaten formülün içinde olduğu için $b$ değerini pozitif olarak $2\sqrt{3}$ alıyoruz.)
- Şimdi bu değerleri özdeşlikte yerine koyarak açılımı yapalım:
- Birinci terimin karesi ($a^2$): $a^2 = (5)^2 = 25$ olur.
- Birinci ve ikinci terimin çarpımının iki katı ($-2ab$): $-2ab = -2 \times (5) \times (2\sqrt{3})$. Bu çarpımı yaparken önce sayıları çarparız: $-2 \times 5 \times 2 = -20$. Kök içindeki ifade $\sqrt{3}$ olduğu gibi kalır. Yani $-2ab = -20\sqrt{3}$ olur.
- İkinci terimin karesi ($b^2$): $b^2 = (2\sqrt{3})^2$. Bu ifadeyi açarken hem 2'nin hem de $\sqrt{3}$'ün karesini almayı unutmayın. $(2\sqrt{3})^2 = (2)^2 \times (\sqrt{3})^2 = 4 \times 3 = 12$ olur.
- Şimdi bulduğumuz bu üç terimi bir araya getirelim: $(5 - 2\sqrt{3})^2 = a^2 - 2ab + b^2 = 25 - 20\sqrt{3} + 12$.
- Son olarak, sabit sayıları (köklü ifade içermeyenleri) kendi aralarında toplayalım: $25 + 12 = 37$.
- Böylece ifadenin en sade hali $37 - 20\sqrt{3}$ olarak bulunur.
Bu sonuç, seçeneklerdeki A seçeneği ile aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
