İki terimin farkının karesi (a-b)² Test 2

Bir sayının 7 eksiğinin karesi, aynı sayının karesinden 63 eksiktir. Buna göre bu sayı kaçtır?

A) 8
B) 9
C) 10
D) 11

Bu tür problemleri çözmek için, verilen sözel ifadeyi adım adım matematiksel bir denkleme dönüştürmeli ve ardından bu denklemi çözmeliyiz. Haydi başlayalım!

• Adım 1: Bilinmeyeni Tanımlayalım

  Öncelikle, bize sorulan sayıyı bir değişkenle temsil edelim. Bu sayıya $x$ diyelim.

• Adım 2: Sözel İfadeyi Matematiksel Terimlere Çevirelim (Denklemin Sol Tarafı)

  Sorunun ilk kısmı "Bir sayının 7 eksiğinin karesi" şeklindedir.

  • "Bir sayının 7 eksiği" ifadesi $x - 7$ olarak yazılır.
  • Bu ifadenin "karesi" ise $(x - 7)^2$ olarak gösterilir.

  Yani, denklemin sol tarafı $(x - 7)^2$ olacaktır.

• Adım 3: Sözel İfadeyi Matematiksel Terimlere Çevirelim (Denklemin Sağ Tarafı)

  Sorunun ikinci kısmı "aynı sayının karesinden 63 eksiktir" şeklindedir.

  • "Aynı sayının karesi" ifadesi $x^2$ olarak yazılır.
  • Bu ifadeden "63 eksik" olması demek, $x^2 - 63$ demektir.

  Yani, denklemin sağ tarafı $x^2 - 63$ olacaktır.

• Adım 4: Denklemi Kuralım

  Şimdi iki tarafı bir araya getirerek denklemi oluşturalım:

  $(x - 7)^2 = x^2 - 63$

• Adım 5: Denklemi Çözelim

  Denklemi çözmek için öncelikle sol taraftaki parantezli ifadeyi açalım. $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ özdeşliğini hatırlayalım.

  • $(x - 7)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2$
  • $(x - 7)^2 = x^2 - 14x + 49$

  Şimdi bu ifadeyi denklemde yerine yazalım:

  $x^2 - 14x + 49 = x^2 - 63$

  Denklemin her iki tarafında da $x^2$ terimi olduğu için, bu terimleri birbirini götürecek şekilde sadeleştirebiliriz (her iki taraftan $x^2$ çıkararak):

  $-14x + 49 = -63$

  Şimdi $x$ terimini yalnız bırakmak için sabit terimleri bir tarafa toplayalım. $49$ sayısını denklemin sağ tarafına atalım (işareti değişerek):

  $-14x = -63 - 49$

  Sağ taraftaki sayıları toplayalım:

  $-14x = -112$

  Son olarak, $x$'i bulmak için her iki tarafı $-14$'e bölelim:

  $x = \frac{-112}{-14}$

  $x = 8$

• Adım 6: Sonucu Kontrol Edelim (İsteğe Bağlı ama Önemli!)

  Bulduğumuz $x=8$ değerini orijinal denklemde yerine koyarak doğru olup olmadığını kontrol edebiliriz:

  • Sol taraf: $(8 - 7)^2 = (1)^2 = 1$
  • Sağ taraf: $8^2 - 63 = 64 - 63 = 1$

  Gördüğümüz gibi, her iki taraf da $1$ çıktı. Bu da çözümümüzün doğru olduğunu gösterir.

Buna göre bu sayı $8$'dir.

Cevap A seçeneğidir.