KPSS Sayısal Mantık konu anlatımı Test 1

Bir kutuda kırmızı ve mavi bilyeler bulunmaktadır. Kırmızı bilyelerin sayısı mavi bilyelerin sayısının 2 katından 5 fazladır. Kutudan rastgele çekilen bir bilyenin mavi olma olasılığı \( \frac{2}{7} \) olduğuna göre, kutuda toplam kaç bilye vardır?

A) 28
B) 35
C) 42
D) 49
E) 56

Merhaba sevgili öğrencilerim! Bu problemde, bilye sayıları arasındaki ilişkiyi ve olasılık bilgisini kullanarak toplam bilye sayısını bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Bilinmeyenleri Tanımlayalım:

  Öncelikle, problemdeki bilinmeyen bilye sayılarına harfler verelim. Bu, denklemleri kurmamızı kolaylaştıracaktır.

  • Mavi bilye sayısı: $M$
  • Kırmızı bilye sayısı: $K$
  • Toplam bilye sayısı: $T$
• 2. Verilen Bilgileri Matematiksel İfadeye Dönüştürelim:

  Şimdi, problemde bize verilen cümleleri matematiksel denklemlere çevirelim:

  • "Kırmızı bilyelerin sayısı mavi bilyelerin sayısının 2 katından 5 fazladır."

    Bu ifadeyi denklem olarak yazarsak: $K = 2M + 5$

  • "Kutudan rastgele çekilen bir bilyenin mavi olma olasılığı $ \frac{2}{7} $."

    Olasılık formülünü hatırlayalım: Olasılık = (İstenen durum sayısı) / (Tüm durumların sayısı).

    Burada istenen durum mavi bilye çekmek, tüm durumlar ise kutudaki toplam bilye sayısıdır. Yani:

    $P(\text{Mavi}) = \frac{\text{Mavi bilye sayısı}}{\text{Toplam bilye sayısı}} = \frac{M}{T} = \frac{2}{7}$

  • Toplam bilye sayısı ise mavi ve kırmızı bilyelerin toplamıdır:

    $T = M + K$

• 3. Denklemleri Birleştirelim ve Çözelim:

  Şimdi elimizdeki denklemleri kullanarak $M$ ve $T$ değerlerini bulmaya çalışalım.

  • İlk olarak, $K = 2M + 5$ denklemini $T = M + K$ denkleminde yerine yazalım. Böylece toplam bilye sayısını sadece $M$ cinsinden ifade etmiş oluruz:

    $T = M + (2M + 5)$

    $T = 3M + 5$

  • Şimdi, olasılık denklemimiz olan $ \frac{M}{T} = \frac{2}{7} $ ifadesinde, $T$ yerine $3M + 5$ yazalım:

    $ \frac{M}{3M + 5} = \frac{2}{7} $

  • Bu denklemi çözmek için içler dışlar çarpımı (çapraz çarpım) yapalım:

    $7 \times M = 2 \times (3M + 5)$

    $7M = 6M + 10$

  • Şimdi $M$ terimlerini bir tarafa toplayalım:

    $7M - 6M = 10$

    $M = 10$

    Demek ki kutuda 10 tane mavi bilye varmış!

• 4. Toplam Bilye Sayısını Bulalım:

  Mavi bilye sayısını ($M=10$) bulduğumuza göre, şimdi kırmızı bilye sayısını ($K$) ve ardından toplam bilye sayısını ($T$) kolayca bulabiliriz.

  • Kırmızı bilye sayısı: $K = 2M + 5$

    $K = 2(10) + 5$

    $K = 20 + 5$

    $K = 25$

    Kutuda 25 tane kırmızı bilye varmış.

  • Toplam bilye sayısı: $T = M + K$

    $T = 10 + 25$

    $T = 35$

    Kutuda toplam 35 bilye bulunmaktadır.

• 5. Kontrol Edelim:

  Bulduğumuz değerlerin doğru olup olmadığını kontrol edelim. Mavi bilye sayısı 10, toplam bilye sayısı 35 ise, mavi bilye çekme olasılığı:

  $P(\text{Mavi}) = \frac{10}{35}$

  Bu kesri sadeleştirdiğimizde (hem payı hem paydayı 5'e bölersek):

  $P(\text{Mavi}) = \frac{10 \div 5}{35 \div 5} = \frac{2}{7}$

  Bu da soruda verilen olasılık değeriyle aynıdır. Yani çözümümüz doğrudur!

Kutuda toplam 35 bilye vardır.

Cevap B seçeneğidir.