Merhaba sevgili öğrenciler! Bu tür işçi problemleri, günlük hayatta da karşımıza çıkabilecek durumları matematiksel olarak modellememizi sağlar. Adım adım ilerleyerek bu soruyu kolayca çözeceğiz.
-
Adım 1: Her bir kişinin günlük iş yapma hızını belirleyelim.
Bir işin tamamı 1 birim olarak kabul edilir. Eğer bir kişi bir işi belirli bir sürede bitiriyorsa, 1 günde o işin ne kadarını yaptığını bulmak için 1'i o süreye böleriz.
- Ali işin tamamını 12 günde bitirebiliyorsa, Ali 1 günde işin $\frac{1}{12}$'sini yapar.
- Barış işin tamamını 18 günde bitirebiliyorsa, Barış 1 günde işin $\frac{1}{18}$'ini yapar.
-
Adım 2: İkisinin birlikte 1 günde ne kadar iş yaptığını bulalım.
Ali ve Barış birlikte çalıştıklarında, günlük yaptıkları iş miktarları toplanır.
- İkisi birlikte 1 günde: $\frac{1}{12} + \frac{1}{18}$ kadar iş yaparlar.
- Bu kesirleri toplamak için ortak payda bulmalıyız. 12 ve 18'in en küçük ortak katı 36'dır.
- $\frac{1}{12}$ kesrini 3 ile genişletirsek $\frac{3}{36}$ olur.
- $\frac{1}{18}$ kesrini 2 ile genişletirsek $\frac{2}{36}$ olur.
- Yani, ikisi birlikte 1 günde: $\frac{3}{36} + \frac{2}{36} = \frac{5}{36}$ kadar iş yaparlar.
-
Adım 3: İkisinin birlikte çalıştığı 3 günde yapılan iş miktarını hesaplayalım.
İkisi birlikte 1 günde işin $\frac{5}{36}$'sını yapıyorsa, 3 günde yaptıkları iş miktarı $3 \times \frac{5}{36}$ olur.
- Yapılan iş miktarı: $3 \times \frac{5}{36} = \frac{15}{36}$
- Bu kesri sadeleştirebiliriz (hem payı hem de paydayı 3'e bölerek): $\frac{15 \div 3}{36 \div 3} = \frac{5}{12}$
- Demek ki, Ali ve Barış birlikte 3 gün çalışarak işin $\frac{5}{12}$'sini tamamlamışlardır.
-
Adım 4: Kalan iş miktarını bulalım.
İşin tamamı 1 birim (veya $\frac{12}{12}$) olduğuna göre, yapılan işi toplam işten çıkararak kalan işi buluruz.
- Kalan iş miktarı: $1 - \frac{5}{12} = \frac{12}{12} - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$
- Yani, işin $\frac{7}{12}$'si kalmıştır.
-
Adım 5: Kalan işi Barış'ın tek başına kaç günde bitireceğini hesaplayalım.
Ali işi bıraktıktan sonra kalan işi Barış tek başına yapacaktır. Barış'ın günlük iş yapma hızı $\frac{1}{18}$ idi.
- Kalan işi bitirme süresi = (Kalan İş Miktarı) $\div$ (Barış'ın Günlük İş Yapma Hızı)
- Süre: $\frac{7}{12} \div \frac{1}{18}$
- Kesirlerde bölme işlemi yaparken, birinci kesri aynen yazar, ikinci kesri ters çevirip çarparız: $\frac{7}{12} \times \frac{18}{1}$
- Çarpma işlemini yapalım: $\frac{7 \times 18}{12}$
- Sadeleştirme yapabiliriz. 18 ve 12 sayıları 6 ile sadeleşir. (18 $\div$ 6 = 3, 12 $\div$ 6 = 2)
- Süre: $\frac{7 \times 3}{2} = \frac{21}{2}$
- $\frac{21}{2}$ kesri ondalık olarak $10.5$ güne eşittir.
Bu durumda, kalan işi Barış tek başına 10.5 günde bitirir.
Cevap D seçeneğidir.
