Diferansiyel kavramı nedir (dx) Test 2

10. y = √x fonksiyonu veriliyor. x = 4 noktasında dx = 0.04 için dy'nin yaklaşık değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 0.01
B) 0.02
C) 0.03
D) 0.04

Bu problemde, bir fonksiyonun belirli bir noktadaki diferansiyelini (yaklaşık değişimini) bulmamız isteniyor. Diferansiyel kavramı, bir fonksiyonun küçük bir değişim için çıktısındaki yaklaşık değişimi hesaplamamıza olanak tanır. Bunun için fonksiyonun türevini kullanırız.

• Adım 1: Fonksiyonu ve türevini belirleyelim.

  Verilen fonksiyon $y = f(x) = \sqrt{x}$'tir. Diferansiyel $dy$, $dy = f'(x) dx$ formülü ile bulunur. Bu nedenle, öncelikle $f(x)$'in türevini, yani $f'(x)$'i bulmamız gerekiyor.

  Fonksiyonu üslü ifade olarak yazalım: $f(x) = x^{1/2}$.

  Türev alma kuralını ($ (x^n)' = nx^{n-1} $) kullanarak türevini alalım:

  $f'(x) = \frac{1}{2} x^{(1/2) - 1} = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

• Adım 2: Türevin değerini verilen $x$ noktasında hesaplayalım.

  Bize $x = 4$ noktası verilmiş. $f'(x)$ ifadesinde $x$ yerine $4$ yazalım:

  $f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$.

• Adım 3: $dy$ değerini hesaplayalım.

  Diferansiyel formülü $dy = f'(x) dx$'tir. Biz $f'(4) = \frac{1}{4}$ ve $dx = 0.04$ olarak biliyoruz. Bu değerleri formülde yerine koyalım:

  $dy = \frac{1}{4} \cdot 0.04$.

  Hesaplamayı yapalım:

  $dy = 0.25 \cdot 0.04 = 0.01$.

Buna göre, $x = 4$ noktasında $dx = 0.04$ için $dy$'nin yaklaşık değeri $0.01$'dir.

Cevap A seçeneğidir.