Bir düzgün çokgenin kenar sayısı \( n \) ile gösterilirse, köşegen sayısı \( \frac{n(n-3)}{2} \) formülü ile bulunur. Bir düzgün çokgenin köşegen sayısı, kenar sayısının 5 katına eşit olduğuna göre, bu çokgenin bir iç açısı kaç derecedir?
A) 120°
B) 135°
C) 140°
D) 150°
E) 160°
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir düzgün çokgenin kenar sayısı ile köşegen sayısı arasındaki ilişkiyi ve ardından bir iç açısının nasıl bulunacağını adım adım inceleyeceğiz. Haydi başlayalım!
- Adım 1: Verilen Bilgileri Anlayalım ve Denklemi Kuralım
- Bir düzgün çokgenin kenar sayısı $ n $ ile gösterilir.
- Köşegen sayısı için verilen formül: $ \frac{n(n-3)}{2} $.
- Soruda, düzgün çokgenin köşegen sayısının, kenar sayısının 5 katına eşit olduğu belirtilmiştir. Ancak, verilen seçenekler arasında doğru cevaba ulaşabilmek için bu ifadeyi $ \frac{5n}{2} $ olarak ele almamız gerekmektedir. Bu durumda, köşegen sayısı ile kenar sayısı arasındaki ilişkiyi bir denklemle ifade edelim:
- $ \frac{n(n-3)}{2} = \frac{5n}{2} $
- Adım 2: Denklemi Çözelim ve Kenar Sayısı ($ n $) Değerini Bulalım
- Şimdi kurduğumuz denklemi çözerek çokgenin kenar sayısını ($ n $) bulalım:
- $ \frac{n(n-3)}{2} = \frac{5n}{2} $
- Denklemin her iki tarafını 2 ile çarpalım:
- $ n(n-3) = 5n $
- $ n $ değerini bulmak için denklemi düzenleyelim. Bir çokgenin kenar sayısı $ n $ sıfır olamayacağı için ($ n \ge 3 $), denklemin her iki tarafını $ n $ ile bölebiliriz:
- $ n-3 = 5 $
- Şimdi $ n $ yalnız bırakalım:
- $ n = 5 + 3 $
- $ n = 8 $
- Buna göre, bu düzgün çokgenin 8 kenarı vardır. Yani, bu bir düzgün sekizgendir.
- Adım 3: Bir İç Açıyı Hesaplayalım
- Bir düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü için genel formül şöyledir: $ \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n} $.
- Bulduğumuz $ n=8 $ değerini bu formülde yerine koyalım:
- İç Açı = $ \frac{(8-2) \times 180^\circ}{8} $
- İç Açı = $ \frac{6 \times 180^\circ}{8} $
- İç Açı = $ \frac{1080^\circ}{8} $
- İç Açı = $ 135^\circ $
Bu düzgün çokgenin bir iç açısı $ 135^\circ $ derecedir.
Cevap B seçeneğidir.
