f(x+a) grafiği (Yatay öteleme) Test 2

10. f(x) = sinx fonksiyonunun grafiği π/2 birim sola ötelenirse, yeni fonksiyon aşağıdakilerden hangisine eşit olur?

A) cosx
B) -cosx
C) sin(x+π/2)
D) -sinx

Bu soruda, bir trigonometrik fonksiyonun grafiğinin ötelenmesi ve bu ötelenme sonucunda oluşan yeni fonksiyonun ne olacağını bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Fonksiyon Grafiği Öteleme Kuralını Hatırlayalım

  Bir $f(x)$ fonksiyonunun grafiği:

  $k$ birim sağa ötelenirse, yeni fonksiyon $f(x-k)$ olur.

  $k$ birim sola ötelenirse, yeni fonksiyon $f(x+k)$ olur.

  Bu soruda, $f(x) = \sin x$ fonksiyonunun grafiği $\pi/2$ birim sola öteleniyor. Bu durumda, $k = \pi/2$ ve sola öteleme olduğu için $x$ yerine $(x + \pi/2)$ yazmalıyız.

• Adım 2: Yeni Fonksiyonu Yazalım

  Verilen $f(x) = \sin x$ fonksiyonunu $\pi/2$ birim sola ötelediğimizde, yeni fonksiyonumuz $g(x)$ şöyle olur:

  $g(x) = \sin(x + \pi/2)$

• Adım 3: Trigonometrik Özdeşlikleri Kullanarak İfadeyi Sadeleştirelim

  Şimdi $\sin(x + \pi/2)$ ifadesinin neye eşit olduğunu bulmamız gerekiyor. Bunun için trigonometrik toplam formülünü veya birim çemberdeki dönüşümleri kullanabiliriz:

  Yöntem 1: Toplam Formülü

  $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ formülünü kullanalım. Burada $A=x$ ve $B=\pi/2$.

  $\sin(x + \pi/2) = \sin x \cos(\pi/2) + \cos x \sin(\pi/2)$

  Trigonometrik değerleri yerine yazalım:

  $\cos(\pi/2) = 0$

  $\sin(\pi/2) = 1$

  Bu değerleri formülde yerine koyarsak:

  $\sin(x + \pi/2) = \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1$

  $\sin(x + \pi/2) = 0 + \cos x$

  $\sin(x + \pi/2) = \cos x$

  Yöntem 2: Birim Çember ve Dönüşüm Formülleri

  Birim çemberde, bir açının $\pi/2$ (90 derece) fazlasının sinüsü, o açının kosinüsüne eşittir. Yani, $\sin(90^\circ + \alpha) = \cos \alpha$.

  Bu kurala göre, $\sin(x + \pi/2) = \cos x$ olur.

• Adım 4: Sonucu Seçeneklerle Karşılaştıralım

  Bulduğumuz yeni fonksiyon $\cos x$'tir. Seçeneklere baktığımızda, bu ifade A seçeneğinde yer almaktadır.

Cevap A seçeneğidir.