Düzgün çokgenlerin özellikleri Test 2

Bir düzgün çokgenin kenar sayısı \(n\) olmak üzere, köşegen sayısı \(k\) ile ifade ediliyor. \(k = 2n\) eşitliğini sağlayan \(n\) değeri kaçtır?

A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir düzgün çokgenin kenar sayısı ile köşegen sayısı arasındaki ilişkiyi kullanarak bilinmeyeni bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Adım: Soruyu Anlayalım ve Verilenleri Belirleyelim

  Bir düzgün çokgenin kenar sayısı $n$ ile ifade ediliyor. Köşegen sayısı ise $k$ ile gösteriliyor. Soruda bize verilen önemli bir bilgi, köşegen sayısının kenar sayısının 2 katı olduğu, yani $k = 2n$ eşitliğidir. Bizden bu eşitliği sağlayan $n$ değerini bulmamız isteniyor.

• 2. Adım: Köşegen Sayısı Formülünü Hatırlayalım

  Bir düzgün çokgenin kenar sayısı $n$ olduğunda, köşegen sayısını veren genel bir formül vardır. Bu formül şöyledir:

  $k = \frac{n(n-3)}{2}$

  Bu formül, bir çokgenin her bir köşesinden kendisine ve komşu iki köşeye köşegen çizilemeyeceği (toplam 3 köşe) ve her köşegenin iki kez sayıldığı (örneğin A'dan B'ye çizilen köşegen ile B'den A'ya çizilen köşegenin aynı olması) gerçeğinden türetilmiştir.

• 3. Adım: Verilen Eşitliği ve Formülü Birleştirelim

  Şimdi elimizdeki iki bilgiyi bir araya getirelim:

  • Verilen eşitlik: $k = 2n$
  • Köşegen sayısı formülü: $k = \frac{n(n-3)}{2}$

  Bu iki ifadeyi eşitleyerek bir denklem kurabiliriz:

  $\frac{n(n-3)}{2} = 2n$

• 4. Adım: Denklemi Çözelim

  Şimdi bu denklemi $n$ için çözmeliyiz:

  • Öncelikle denklemin her iki tarafını 2 ile çarpalım ki paydadaki 2'den kurtulalım:

  $n(n-3) = 2 \times (2n)$

  $n(n-3) = 4n$

  • Şimdi $n$ terimini parantez içine dağıtalım:

  $n^2 - 3n = 4n$

  • Tüm terimleri denklemin bir tarafına toplayalım. $4n$ terimini sol tarafa eksi olarak geçirelim:

  $n^2 - 3n - 4n = 0$

  • Benzer terimleri birleştirelim:

  $n^2 - 7n = 0$

  • Bu ifadeyi çarpanlarına ayıralım. Her iki terimde de $n$ ortak çarpanı var:

  $n(n-7) = 0$

  • Bu eşitliğin doğru olabilmesi için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir. Yani iki olası çözüm vardır:

  $n = 0$ veya $n-7 = 0$

  $n = 0$ veya $n = 7$

• 5. Adım: Çözümü Yorumlayalım

  Bir çokgenin kenar sayısı $n$ olmalıdır. Bir çokgenin en az 3 kenarı olabilir (üçgen). $n=0$ değeri bir çokgeni temsil etmez, bu yüzden bu çözüm geçersizdir. Dolayısıyla, geçerli olan tek çözüm $n=7$'dir.

  Yani, 7 kenarlı bir düzgün çokgenin (yedigen) köşegen sayısı, kenar sayısının 2 katına eşittir.

  Kontrol edelim: $n=7$ için köşegen sayısı $k = \frac{7(7-3)}{2} = \frac{7 \times 4}{2} = \frac{28}{2} = 14$. Kenar sayısının 2 katı ise $2n = 2 \times 7 = 14$. Gördüğümüz gibi eşitlik sağlanıyor.

Bu durumda, $n$ değeri 7'dir.

Cevap C seçeneğidir.