Bir düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü, bir dış açısının ölçüsünün 5 katına eşit olduğuna göre, bu çokgenin köşegen sayısı kaçtır?
A) 9
B) 14
C) 20
D) 27
E) 35
Bir düzgün çokgenin köşegen sayısını bulmak için öncelikle kenar sayısını ($n$) bulmamız gerekir. Bunun için iç ve dış açılar arasındaki ilişkiden faydalanacağız.
- 1. İç ve Dış Açı İlişkisini Kurma:
- Bir düzgün çokgenin bir iç açısı ($I$) ile bir dış açısının ($E$) toplamı her zaman $180^\circ$'dir. Yani, $I + E = 180^\circ$.
- Soruda verilen bilgiye göre, bir iç açının ölçüsü bir dış açının ölçüsünün 5 katına eşittir: $I = 5E$.
- 2. Dış Açının Ölçüsünü Bulma:
- $I = 5E$ ifadesini $I + E = 180^\circ$ denkleminde yerine yazalım:
- $5E + E = 180^\circ$
- $6E = 180^\circ$
- $E = \frac{180^\circ}{6} = 30^\circ$.
- Yani, bu düzgün çokgenin bir dış açısının ölçüsü $30^\circ$'dir.
- 3. Çokgenin Kenar Sayısını ($n$) Bulma:
- Bir düzgün çokgenin bir dış açısının ölçüsü, $E = \frac{360^\circ}{n}$ formülüyle bulunur, burada $n$ çokgenin kenar sayısıdır.
- Bulduğumuz dış açı değerini formülde yerine koyalım:
- $30^\circ = \frac{360^\circ}{n}$
- Denklemi $n$ için çözelim: $n = \frac{360^\circ}{30^\circ} = 12$.
- Bu çokgen 12 kenarlıdır (düzgün onikigen).
- 4. Köşegen Sayısını Bulma:
- Bir $n$-kenarlı çokgenin köşegen sayısı $D = \frac{n(n-3)}{2}$ formülüyle hesaplanır.
- Bulduğumuz $n=12$ değerini formülde yerine koyalım:
- $D = \frac{12(12-3)}{2}$
- $D = \frac{12 \times 9}{2}$
- $D = \frac{108}{2}$
- $D = 54$.
Bu çokgenin köşegen sayısı 54'tür.
Cevap D seçeneğidir.
