İçinde bir miktar su bulunan silindirik bir kabın yarıçapı 8 cm'dir. Kaba 4 cm yarıçaplı bir küre atıldığında su seviyesi 2 cm yükseldiğine göre, kürenin hacmi kaç \(\text{cm}^3\)'tür? (\(\pi = 3\) alınız)
A) 256
B) 288
C) 324
D) 384
E) 432
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir kaba atılan kürenin su seviyesinde yarattığı yükselmeden yola çıkarak kürenin hacmini bulacağız. Temel prensibimiz, bir cisim suya batırıldığında yerini değiştirdiği suyun hacminin, cismin hacmine eşit olmasıdır. Haydi adım adım çözelim:
- 1. Verilen Bilgileri Anlayalım:
- Silindirik kabın yarıçapı: $R = 8$ cm.
- Küre atıldığında su seviyesindeki yükselme miktarı: $h = 2$ cm.
- $\pi = 3$ almamız isteniyor.
- Bize kürenin yarıçapı ($r = 4$ cm) verilmiş olsa da, bu bilgi aslında soruyu çözmek için doğrudan gerekli değildir. Çünkü su seviyesindeki yükselme miktarı zaten kürenin hacmini bulmamız için yeterli bilgiyi sağlıyor. Bu, bazen sorularda verilen fazladan bir bilgi olabilir veya cevabımızı kontrol etmek için kullanılabilir.
- 2. Yükselen Suyun Hacmini Hesaplayalım:
- Küre kaba atıldığında su seviyesi yükselir. Yükselen suyun hacmi, kabın içinde oluşan silindirik bir hacim kadardır.
- Bu yükselen suyun oluşturduğu silindirin yarıçapı, kabın yarıçapı ile aynıdır: $R = 8$ cm.
- Bu yükselen suyun yüksekliği, su seviyesindeki artış miktarıdır: $h = 2$ cm.
- Bir silindirin hacim formülü $V_{\text{silindir}} = \pi R^2 h$'dir.
- Şimdi değerleri yerine koyarak yükselen suyun hacmini bulalım:
$V_{\text{yükselen su}} = \pi \times (8 \text{ cm})^2 \times 2 \text{ cm}$
$V_{\text{yükselen su}} = 3 \times 64 \text{ cm}^2 \times 2 \text{ cm}$
$V_{\text{yükselen su}} = 3 \times 128 \text{ cm}^3$
$V_{\text{yükselen su}} = 384 \text{ cm}^3$
- 3. Kürenin Hacmini Belirleyelim:
- Fizik prensibine göre, suya batırılan bir cismin hacmi, yerini değiştirdiği (yani yükselttiği) suyun hacmine eşittir.
- Bu durumda, kürenin hacmi, yükselen suyun hacmine eşittir.
- Yani, Kürenin Hacmi $= V_{\text{yükselen su}} = 384 \text{ cm}^3$.
- 4. Cevabı Kontrol Edelim (İsteğe Bağlı):
- Soruda kürenin yarıçapı $r = 4$ cm olarak verilmişti. Kürenin hacim formülü $V_{\text{küre}} = \frac{4}{3} \pi r^3$'tür.
- Bu formülü kullanarak kürenin hacmini hesaplayalım:
$V_{\text{küre}} = \frac{4}{3} \times 3 \times (4 \text{ cm})^3$
$V_{\text{küre}} = 4 \times 64 \text{ cm}^3$
$V_{\text{küre}} = 256 \text{ cm}^3$
- Gördüğümüz gibi, bu iki sonuç farklı çıktı ($384 \text{ cm}^3$ ve $256 \text{ cm}^3$). Bu durum, soruda verilen "4 cm yarıçaplı bir küre" bilgisinin, su seviyesi yükselme miktarı ile çeliştiğini gösterir. Ancak, sorunun amacı genellikle verilen yükselme miktarını kullanarak kürenin hacmini bulmaktır. Eğer kürenin yarıçapı 4 cm olsaydı, su seviyesi 2 cm yükselmezdi. Soruyu "su seviyesi 2 cm yükseldiğine göre, kürenin hacmi kaç cm$^3$'tür?" şeklinde yorumladığımızda, öncelikli olarak yükselen suyun hacmini bulmamız gerekir. Bu tür sorularda, genellikle yükselen suyun hacmi, kürenin hacmini bulmak için kullanılan ana bilgidir. Dolayısıyla, yükselen suyun hacmi olan $384 \text{ cm}^3$ doğru cevaptır.
Bu durumda, kürenin hacmi $384 \text{ cm}^3$'tür.
Cevap D seçeneğidir.
