Silindir hacim ve alan Test 1

Bir silindirin yanal alanı \(96\pi \text{ cm}^2\) ve hacmi \(288\pi \text{ cm}^3\)'tür. Buna göre, bu silindirin taban yarıçapı kaç cm'dir?

A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir silindirin yanal alanı ve hacmi verilmiş. Bizden bu silindirin taban yarıçapını bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu problemi kolayca çözelim.

• 1. Adım: Verilen Bilgileri ve Silindir Formüllerini Hatırlayalım

• Soruda bize verilenler şunlardır:

  • Silindirin yanal alanı ($A_L$) = $96\pi \text{ cm}^2$
  • Silindirin hacmi ($V$) = $288\pi \text{ cm}^3$

  Silindir için bilmemiz gereken temel formüller ise şunlardır:

  • Silindirin yanal alanı ($A_L$) = $2\pi r h$ (Burada $r$ taban yarıçapı, $h$ ise silindirin yüksekliğidir.)
  • Silindirin hacmi ($V$) = $\pi r^2 h$
• 2. Adım: Verilen Bilgileri Formüllere Yerleştirelim ve Denklemler Oluşturalım

• Şimdi, verilen değerleri ilgili formüllere yerleştirerek iki denklem oluşturalım:

  • Yanal alan formülünden: $2\pi r h = 96\pi$
  • Hacim formülünden: $\pi r^2 h = 288\pi$
• 3. Adım: Denklemleri Sadeleştirelim

• Her iki denklemdeki $\pi$ sembollerini sadeleştirebiliriz. Ayrıca ilk denklemi 2'ye bölerek daha da sadeleştirebiliriz:

  • Birinci denklem (yanal alan): $2 r h = 96 \Rightarrow r h = 48$ (Bu bizim ilk önemli ilişkimiz!)
  • İkinci denklem (hacim): $r^2 h = 288$
• 4. Adım: Denklemleri Birbirine Bağlayarak $r$ Değerini Bulalım

• Elimizde $r h = 48$ ve $r^2 h = 288$ denklemleri var. Bu denklemleri kullanarak $r$ değerini bulabiliriz. Bunun en kolay yollarından biri, ikinci denklemi birinci denkleme bölmektir:

  • $\frac{r^2 h}{r h} = \frac{288}{48}$
  • Sol tarafta $r^2 h$ ifadesini $r h$ ifadesine böldüğümüzde, $h$'ler sadeleşir ve $r^2 / r = r$ kalır.
  • Sağ tarafta ise $288$ sayısını $48$'e bölelim: $288 \div 48 = 6$.
  • Böylece $r = 6$ sonucunu elde ederiz.

  Alternatif olarak, birinci denklemden $h$'yi $r$ cinsinden ifade edip ikinci denklemde yerine koyabiliriz:

  • $r h = 48 \Rightarrow h = \frac{48}{r}$
  • Şimdi bu $h$ değerini ikinci denklemde yerine yazalım: $r^2 \left(\frac{48}{r}\right) = 288$
  • $r^2$ ile $\frac{1}{r}$ çarpıldığında $r$ kalır: $48r = 288$
  • Her iki tarafı $48$'e bölelim: $r = \frac{288}{48}$
  • $r = 6$
• 5. Adım: Sonucu Kontrol Edelim

• Bulduğumuz $r=6$ değerini kullanarak $h$ değerini de bulabiliriz: $h = \frac{48}{r} = \frac{48}{6} = 8 \text{ cm}$.

  Şimdi bu $r=6$ ve $h=8$ değerlerini orijinal formüllere yerleştirerek verilen alan ve hacim değerlerini sağlayıp sağlamadığını kontrol edelim:

  • Yanal alan: $2\pi r h = 2\pi (6)(8) = 2\pi (48) = 96\pi \text{ cm}^2$ (Doğru!)
  • Hacim: $\pi r^2 h = \pi (6^2)(8) = \pi (36)(8) = 288\pi \text{ cm}^3$ (Doğru!)

  Gördüğümüz gibi, bulduğumuz yarıçap değeri doğru sonuçları vermektedir.

Buna göre, silindirin taban yarıçapı $6 \text{ cm}$'dir.

Cevap C seçeneğidir.