Üçgende eşlik nedir Test 1

Bir mimar, iki farklı binanın çatılarını tasarlarken üçgen şekiller kullanıyor. İlk çatı üçgeninin kenar uzunlukları 5 m, 12 m ve 13 m'dir. İkinci çatı üçgeninin kenar uzunlukları ise 10 m, 24 m ve 26 m'dir. Bu iki üçgen için aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?

A) Eş üçgenlerdir
B) Sadece benzer üçgenlerdir
C) Alanları eşittir
D) Hiçbiri

Bu soruyu çözmek için, verilen iki üçgenin kenar uzunluklarını inceleyerek aralarındaki ilişkiyi adım adım belirleyelim.

• Adım 1: Üçgenlerin Türünü Belirleyelim (Dik Üçgen Kontrolü)

• Öncelikle verilen kenar uzunluklarına bakarak bu üçgenlerin özel bir üçgen olup olmadığını kontrol edelim. Özellikle dik üçgen olup olmadıklarını Pisagor Teoremi ile test edebiliriz. Pisagor Teoremi'ne göre, bir dik üçgende en uzun kenarın karesi (hipotenüs), diğer iki kenarın kareleri toplamına eşittir ($a^2 + b^2 = c^2$).

  İlk Üçgen İçin:

  Kenar uzunlukları: 5 m, 12 m, 13 m.

  En uzun kenar 13 m. Diğer kenarlar 5 m ve 12 m.

  Pisagor Teoremi'ni uygulayalım: $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$.

  En uzun kenarın karesi: $13^2 = 169$.

  Gördüğümüz gibi $5^2 + 12^2 = 13^2$ eşitliği sağlanıyor. Bu durumda ilk üçgen bir dik üçgendir.

  İkinci Üçgen İçin:

  Kenar uzunlukları: 10 m, 24 m, 26 m.

  En uzun kenar 26 m. Diğer kenarlar 10 m ve 24 m.

  Pisagor Teoremi'ni uygulayalım: $10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676$.

  En uzun kenarın karesi: $26^2 = 676$.

  Gördüğümüz gibi $10^2 + 24^2 = 26^2$ eşitliği sağlanıyor. Bu durumda ikinci üçgen de bir dik üçgendir.

• Adım 2: Üçgenlerin Eş Olup Olmadığını Kontrol Edelim (A seçeneği)

• Eş üçgenler, tüm kenar uzunlukları ve tüm açıları birbirine eşit olan üçgenlerdir.

  İlk üçgenin kenarları 5 m, 12 m, 13 m iken, ikinci üçgenin kenarları 10 m, 24 m, 26 m'dir.

  Kenar uzunlukları farklı olduğu için bu iki üçgen eş değildir. Dolayısıyla A seçeneği yanlıştır.

• Adım 3: Üçgenlerin Benzer Olup Olmadığını Kontrol Edelim (B seçeneği)

• Benzer üçgenler, karşılıklı kenar uzunlukları orantılı olan ve karşılıklı açıları eşit olan üçgenlerdir.

  Kenar uzunlukları arasındaki oranı kontrol edelim:

  Küçük kenarların oranı: $rac{10}{5} = 2$

  Orta kenarların oranı: $rac{24}{12} = 2$

  En uzun kenarların oranı: $rac{26}{13} = 2$

  Gördüğümüz gibi, tüm karşılıklı kenarların oranları birbirine eşittir (orantı sabiti 2'dir). Bu, iki üçgenin benzer olduğunu gösterir. Ayrıca, her ikisi de dik üçgen olduğu için karşılıklı açıları da eşit olacaktır. Dolayısıyla B seçeneği doğrudur.

• Adım 4: Üçgenlerin Alanlarının Eşit Olup Olmadığını Kontrol Edelim (C seçeneği)

• Her iki üçgen de dik üçgen olduğu için alanlarını kolayca hesaplayabiliriz. Bir dik üçgenin alanı, dik kenarların çarpımının yarısıdır ($Alan = rac{a \times b}{2}$).

  İlk Üçgenin Alanı:

  Dik kenarlar 5 m ve 12 m.

  $Alan_1 = rac{5 \times 12}{2} = rac{60}{2} = 30$ metrekare.

  İkinci Üçgenin Alanı:

  Dik kenarlar 10 m ve 24 m.

  $Alan_2 = rac{10 \times 24}{2} = rac{240}{2} = 120$ metrekare.

  $30 \neq 120$ olduğu için bu iki üçgenin alanları eşit değildir. Dolayısıyla C seçeneği yanlıştır.

• Adım 5: Sonuç
• Yaptığımız incelemeler sonucunda, bu iki üçgenin sadece benzer olduğu sonucuna vardık.

Cevap B seçeneğidir.