ABC üçgeninde [AD] kenarortay ve yüksekliktir. |AB| = 10 cm, |BD| = 6 cm'dir. DEF üçgeninde [EK] hem kenarortay hem yüksekliktir. |DE| = 10 cm, |KF| = 6 cm'dir. Bu iki üçgenin eş olduğunu kanıtlamak için hangi eşlik teoremi kullanılır?
A) K.A.K
B) A.K.A
C) K.K.K
D) Hipotenüs - Kenar
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, iki farklı üçgenin eşliğini kanıtlamak için hangi eşlik teoremini kullanacağımızı bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu iki üçgenin özelliklerini inceleyelim ve eşlik durumlarını belirleyelim.
-
Birinci Üçgeni İnceleyelim: ABC Üçgeni
- Soruda, ABC üçgeninde $[AD]$'nin hem kenarortay hem de yükseklik olduğu belirtilmiş. Bir üçgende bir kenarortay aynı zamanda yükseklik ise, o üçgen ikizkenar üçgendir ve yükseklik aynı zamanda açıortaydır.
- Bu durumda, $\triangle ABC$ ikizkenar bir üçgendir ve $|AB| = |AC|$ olur.
- $[AD]$ yükseklik olduğu için, $AD \perp BC$ yani $\angle ADB = 90^\circ$ olur. Bu da $\triangle ABD$'nin bir dik üçgen olduğunu gösterir.
- $[AD]$ kenarortay olduğu için, $D$ noktası $[BC]$ kenarının orta noktasıdır. Bu durumda $|BD| = |DC|$ olur. Soruda $|BD| = 6$ cm verildiği için, $|DC| = 6$ cm'dir.
- $\triangle ABD$ dik üçgeninde, hipotenüs $|AB| = 10$ cm ve bir dik kenar $|BD| = 6$ cm olarak verilmiştir. Diğer dik kenar olan $|AD|$'yi Pisagor Teoremi ile bulabiliriz:
$|AD|^2 + |BD|^2 = |AB|^2$
$|AD|^2 + 6^2 = 10^2$
$|AD|^2 + 36 = 100$
$|AD|^2 = 100 - 36$
$|AD|^2 = 64$
$|AD| = \sqrt{64} = 8$ cm.
-
İkinci Üçgeni İnceleyelim: DEF Üçgeni
- Soruda, DEF üçgeninde $[EK]$'nin hem kenarortay hem de yükseklik olduğu belirtilmiş. Aynı şekilde, $\triangle DEF$ de ikizkenar bir üçgendir ve $|DE| = |EF|$ olur.
- $[EK]$ yükseklik olduğu için, $EK \perp DF$ yani $\angle EKD = 90^\circ$ olur. Bu da $\triangle DEK$'nin bir dik üçgen olduğunu gösterir.
- $[EK]$ kenarortay olduğu için, $K$ noktası $[DF]$ kenarının orta noktasıdır. Bu durumda $|DK| = |KF|$ olur. Soruda $|KF| = 6$ cm verildiği için, $|DK| = 6$ cm'dir.
- $\triangle DEK$ dik üçgeninde, hipotenüs $|DE| = 10$ cm ve bir dik kenar $|DK| = 6$ cm olarak bulunmuştur. Diğer dik kenar olan $|EK|$'yi Pisagor Teoremi ile bulabiliriz:
$|EK|^2 + |DK|^2 = |DE|^2$
$|EK|^2 + 6^2 = 10^2$
$|EK|^2 + 36 = 100$
$|EK|^2 = 100 - 36$
$|EK|^2 = 64$
$|EK| = \sqrt{64} = 8$ cm.
-
İki Üçgenin Eşliğini Kanıtlama
- Şimdi, elde ettiğimiz bilgileri kullanarak $\triangle ABD$ ve $\triangle DEK$ üçgenlerini karşılaştıralım:
- Kenar (K): $|BD| = 6$ cm ve $|DK| = 6$ cm. Yani, $|BD| = |DK|$.
- Açı (A): $\angle ADB = 90^\circ$ ve $\angle EKD = 90^\circ$. Yani, $\angle ADB = \angle EKD$.
- Kenar (K): $|AD| = 8$ cm ve $|EK| = 8$ cm. Yani, $|AD| = |EK|$.
- Gördüğümüz gibi, $\triangle ABD$ ve $\triangle DEK$ üçgenlerinin iki kenarı ve bu iki kenar arasındaki açıları karşılıklı olarak eşittir. Bu durum, Kenar-Açı-Kenar (K.A.K) eşlik teoremine uyar.
- Bu iki dik üçgen ($\triangle ABD$ ve $\triangle DEK$) eş olduğu için, büyük üçgenler olan $\triangle ABC$ ve $\triangle DEF$ de eştir.
Bu nedenle, bu iki üçgenin eş olduğunu kanıtlamak için K.A.K eşlik teoremi kullanılır.
Cevap A seçeneğidir.
