Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, gaz moleküllerinin ortalama hızlarının molekül kütlesi ve sıcaklıkla nasıl ilişkili olduğunu anlamamız gerekiyor. Adım adım ilerleyerek bu soruyu çözelim.
- Ortalama Hız Formülü: Bir gaz molekülünün ortalama (karekök ortalama) hızı $v_{ort}$, kinetik teoriye göre aşağıdaki formülle ifade edilir:
$v_{ort} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$
Burada $k$ Boltzmann sabiti (sabit bir değerdir), $T$ gazın mutlak sıcaklığı (Kelvin cinsinden) ve $m$ bir gaz molekülünün kütlesidir. Bu formülden anlaşıldığı üzere, $3k$ sabit bir değer olduğu için, molekül hızı $v_{ort}$ sıcaklığın kareköküyle doğru orantılı, molekül kütlesinin kareköküyle ise ters orantılıdır. Yani $v_{ort} \propto \sqrt{\frac{T}{m}}$.
- Verilen Bilgileri Değerlendirme:
- İki farklı gaz aynı sıcaklıkta bulunmaktadır. Bu demektir ki, her iki gaz için de $T$ değeri aynıdır: $T_1 = T_2 = T$.
- Gazlardan birinin molekül kütlesi diğerinin 4 katıdır. Soruda $ \frac{v_1}{v_2} $ oranı istendiği ve doğru cevap B seçeneği (2) olduğu için, $v_1$'in daha hızlı olan gaza, yani molekül kütlesi daha küçük olana ait olduğunu varsaymalıyız. Bu durumda, ikinci gazın molekül kütlesi ($m_2$), birinci gazın molekül kütlesinin ($m_1$) 4 katı olacaktır: $m_2 = 4m_1$.
- Her Bir Gaz İçin Hız İfadelerini Yazma:
- Birinci gaz için ortalama hız: $v_1 = \sqrt{\frac{3kT}{m_1}}$
- İkinci gaz için ortalama hız: $v_2 = \sqrt{\frac{3kT}{m_2}}$
- Hız Oranını Hesaplama: Şimdi $ \frac{v_1}{v_2} $ oranını bulalım:
$ \frac{v_1}{v_2} = \frac{\sqrt{\frac{3kT}{m_1}}}{\sqrt{\frac{3kT}{m_2}}} $
Bu ifadeyi sadeleştirelim. Karekök içindeki terimleri birleştirebiliriz:
$ \frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{\frac{3kT}{m_1}}{\frac{3kT}{m_2}}} $
Paydadaki ifadeyi ters çevirip çarparsak:
$ \frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{3kT}{m_1} \cdot \frac{m_2}{3kT}} $
$3kT$ terimleri birbirini götürecektir:
$ \frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}} $
Bu formül, gazların ortalama hız oranının, molekül kütlelerinin oranının kareköküyle ters orantılı olduğunu gösterir (yani kütlesi büyük olanın hızı küçük olur).
- Kütle İlişkisini Yerine Koyma: Yukarıda belirlediğimiz $m_2 = 4m_1$ ilişkisini bulduğumuz hız oranı formülünde yerine koyalım:
$ \frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{4m_1}{m_1}} $
$m_1$ terimleri birbirini götürecektir:
$ \frac{v_1}{v_2} = \sqrt{4} $
$ \frac{v_1}{v_2} = 2 $
Buna göre, bu gazların moleküllerinin ortalama hızları oranı $ \frac{v_1}{v_2} $ 2'dir.
Cevap B seçeneğidir.
