Tümel niceleyici (Her - ∀) Test 1

Mantık dersinde "∀ asal sayı tek sayıdır" önermesi veriliyor. Bu önermenin yanlış olduğunu göstermek için hangi örnek yeterlidir?

A) 3 sayısının asal ve tek olması
B) 9 sayısının tek ama asal olmaması
C) 2 sayısının asal ve çift olması
D) 4 sayısının çift ve asal olmaması

Merhaba sevgili öğrenciler!

Mantık dersinde karşımıza çıkan "∀ asal sayı tek sayıdır" önermesini inceleyelim ve bu önermenin neden yanlış olduğunu göstermek için hangi örneğin yeterli olduğunu bulalım.

• Önermeyi Anlayalım:

  Bu önerme, "Bütün asal sayılar tek sayıdır" anlamına gelir. Yani, eğer bir sayı asalsa, o sayı mutlaka tek olmak zorundadır iddiasında bulunuyor.

• Bir Önermenin Yanlış Olduğunu Göstermek:

  Matematikte ve mantıkta, "bütün" veya "her" gibi ifadeler içeren (evrensel niceleyici ∀ ile belirtilen) bir önermenin yanlış olduğunu göstermek için tek bir karşıt örnek (counterexample) bulmak yeterlidir. Bu karşıt örnek, önermenin iddia ettiğinin aksini gösteren bir durum olmalıdır.

• Aradığımız Karşıt Örnek Nasıl Olmalı?

  Önermemiz "Eğer bir sayı asalsa, o sayı tektir" şeklinde. Bu önermenin yanlış olduğunu göstermek için, öyle bir sayı bulmalıyız ki:

  • Bu sayı asal olsun (önermenin "eğer" kısmı doğru olsun).
  • Ama bu sayı tek olmasın (önermenin "o zaman" kısmı yanlış olsun). Yani, bu sayı çift olsun.

  Kısacası, aradığımız örnek "asal olan ama tek olmayan (yani çift olan) bir sayı" olmalıdır.

• Seçenekleri İnceleyelim:
  • A) 3 sayısının asal ve tek olması:

    3, hem asal hem de tek bir sayıdır. Bu örnek, önermeyi destekler niteliktedir ("asal sayı tek sayıdır" kuralına uyar). Ancak bizim amacımız önermenin yanlış olduğunu göstermek, yani kurala uymayan bir örnek bulmaktır. Bu nedenle A seçeneği doğru cevap değildir.

  • B) 9 sayısının tek ama asal olmaması:

    9, tek bir sayıdır ama asal değildir (çünkü 3 x 3 = 9). Önermemiz asal sayılarla ilgili olduğu için, 9 gibi asal olmayan bir sayı, önermenin yanlışlığını göstermek için uygun bir karşıt örnek olamaz. Çünkü önermenin "eğer" kısmı (asal sayı olması) bu sayı için zaten doğru değildir. Bu nedenle B seçeneği doğru cevap değildir.

  • C) 2 sayısının asal ve çift olması:

    2, asal bir sayıdır (yalnızca 1'e ve kendisine bölünür). Aynı zamanda 2, çift bir sayıdır. İşte aradığımız karşıt örnek! 2 sayısı, asal olmasına rağmen tek değildir (çifttir). Bu durum, "Bütün asal sayılar tektir" önermesinin yanlış olduğunu gösterir. Çünkü en az bir tane asal sayı (2) vardır ki o tek değildir. Bu nedenle C seçeneği doğru cevaptır.

  • D) 4 sayısının çift ve asal olmaması:

    4, çift bir sayıdır ama asal değildir (çünkü 2 x 2 = 4). Tıpkı B seçeneğindeki gibi, 4 de asal olmadığı için önermenin yanlışlığını göstermek için uygun bir karşıt örnek olamaz. Bu nedenle D seçeneği doğru cevap değildir.

Cevap C seçeneğidir.