Bu soruda, bir binom açılımındaki çift dereceli terimlerin katsayılar toplamını bulmamız isteniyor. Bu tür soruları çözmek için binom açılımının temel özelliklerini ve katsayılar toplamı formüllerini kullanacağız.
- Adım 1: İfadeyi ve İsteneni Anlayalım
- Bize verilen ifade $(1 - x)^8$'dir. Bu ifadenin açılımındaki çift dereceli terimlerin katsayılar toplamını bulmalıyız.
- Genel bir $P(x)$ polinomu için, çift dereceli terimlerin katsayılar toplamı $\frac{P(1) + P(-1)}{2}$ formülü ile bulunur.
- Adım 2: $P(x)$ Polinomunu Tanımlayalım
- Burada $P(x) = (1 - x)^8$ olarak alabiliriz.
- Adım 3: $P(1)$ Değerini Hesaplayalım
- $P(1)$ değeri, $x$ yerine $1$ koyarak bulunur. Bu, açılımdaki tüm terimlerin katsayılar toplamını verir.
- $P(1) = (1 - 1)^8 = 0^8 = 0$.
- Yani, $(1 - x)^8$ açılımındaki tüm katsayıların toplamı $0$'dır.
- Adım 4: $P(-1)$ Değerini Hesaplayalım
- $P(-1)$ değeri, $x$ yerine $-1$ koyarak bulunur. Bu, açılımdaki terimlerin katsayılarını işaretleriyle birlikte toplar (çift dereceliler pozitif, tek dereceliler negatif olur).
- $P(-1) = (1 - (-1))^8 = (1 + 1)^8 = 2^8$.
- $2^8 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 256$.
- Adım 5: Çift Dereceli Terimlerin Katsayılar Toplamını Bulalım
- Çift dereceli terimlerin katsayılar toplamı formülünü kullanalım:
- $\text{Çift Dereceli Katsayılar Toplamı} = \frac{P(1) + P(-1)}{2}$
- Hesapladığımız değerleri yerine yazalım:
- $\text{Çift Dereceli Katsayılar Toplamı} = \frac{0 + 256}{2} = \frac{256}{2} = 128$.
Bu durumda, $(1 - x)^8$ ifadesinin açılımındaki çift dereceli terimlerin katsayılar toplamı $128$'dir.
Cevap A seçeneğidir.
