xⁿ ifadesinin integrali Test 2

Bir cismin hızı v(t) = 4t³ olarak veriliyor. t = 0 anında konumu 10 metre olduğuna göre, t = 2 saniye sonra cismin konumu kaç metredir?

A) 26
B) 32
C) 36
D) 42

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir cismin hız fonksiyonu verildiğinde, belirli bir andaki konumunu bulmamız isteniyor. Hız ve konum arasındaki ilişkiyi kullanarak adım adım çözüme ulaşacağız.

• 1. Hız ve Konum Arasındaki İlişkiyi Belirleme:

  Bir cismin hızı, konumunun zamana göre türevidir. Yani $v(t) = \frac{dx}{dt}$'dir. Konumu bulmak için ise hız fonksiyonunu zamana göre integralini almamız gerekir. Bu durumda, konum fonksiyonu $x(t) = \int v(t) dt$ şeklinde ifade edilir.

• 2. Hız Fonksiyonunu Entegre Etme:

  Bize verilen hız fonksiyonu $v(t) = 4t^3$'tür. Şimdi bu fonksiyonun integralini alalım:

  $x(t) = \int 4t^3 dt$

  İntegral kuralını ($ \int at^n dt = a \frac{t^{n+1}}{n+1} + C $) uygulayarak:

  $x(t) = 4 \frac{t^{3+1}}{3+1} + C$

  $x(t) = 4 \frac{t^4}{4} + C$

  $x(t) = t^4 + C$

  Buradaki $C$, integral sabitidir ve başlangıç koşulları kullanılarak bulunması gerekir.

• 3. Başlangıç Koşulunu Kullanarak $C$ Sabitini Bulma:

  Soruda $t = 0$ anında cismin konumunun $10$ metre olduğu belirtilmiştir. Yani $x(0) = 10$'dur. Bu bilgiyi bulduğumuz konum fonksiyonunda yerine yazarak $C$ sabitini bulalım:

  $x(t) = t^4 + C$

  $10 = (0)^4 + C$

  $10 = 0 + C$

  $C = 10$

• 4. Konum Fonksiyonunu Oluşturma:

  Bulduğumuz $C = 10$ değerini konum fonksiyonuna yerine yazarak cismin genel konum fonksiyonunu elde ederiz:

  $x(t) = t^4 + 10$

• 5. $t = 2$ Saniye Sonraki Konumu Hesaplama:

  Şimdi bizden $t = 2$ saniye sonraki konum isteniyor. Konum fonksiyonunda $t$ yerine $2$ yazalım:

  $x(2) = (2)^4 + 10$

  $x(2) = 16 + 10$

  $x(2) = 26$ metre

Buna göre, $t = 2$ saniye sonra cismin konumu $26$ metredir.

Cevap A seçeneğidir.