Noktanın analitiği Test 1

Dik koordinat düzleminde A(3,-2) noktasının x-eksenine göre simetriği B, y-eksenine göre simetriği C noktasıdır. Buna göre |BC| uzunluğu kaç birimdir?

A) 6
B) 8
C) 10
D) 12

Bu soruda, bir noktanın koordinat düzlemindeki eksenlere göre simetriğini bulmayı ve ardından bu iki nokta arasındaki uzaklığı hesaplamayı öğreneceğiz. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Adım: $A(3,-2)$ noktasının x-eksenine göre simetriği olan $B$ noktasını bulalım.

  Bir $(x,y)$ noktasının x-eksenine göre simetriği alındığında, noktanın x koordinatı değişmez, y koordinatı ise işaret değiştirir. Yani $(x,y) \rightarrow (x,-y)$ olur.

  Verilen $A(3,-2)$ noktası için:

  x koordinatı $3$ olarak kalır.

  y koordinatı $-2$ iken işaret değiştirerek $2$ olur.

  Buna göre, $B$ noktasının koordinatları $B(3,2)$'dir.

• 2. Adım: $A(3,-2)$ noktasının y-eksenine göre simetriği olan $C$ noktasını bulalım.

  Bir $(x,y)$ noktasının y-eksenine göre simetriği alındığında, noktanın y koordinatı değişmez, x koordinatı ise işaret değiştirir. Yani $(x,y) \rightarrow (-x,y)$ olur.

  Verilen $A(3,-2)$ noktası için:

  y koordinatı $-2$ olarak kalır.

  x koordinatı $3$ iken işaret değiştirerek $-3$ olur.

  Buna göre, $C$ noktasının koordinatları $C(-3,-2)$'dir.

• 3. Adım: $B$ ve $C$ noktaları arasındaki uzaklığı ($|BC|$) hesaplayalım.

  İki nokta arasındaki uzaklık formülü, $(x_1, y_1)$ ve $(x_2, y_2)$ noktaları için $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ şeklindedir.

  Bizim noktalarımız $B(3,2)$ ve $C(-3,-2)$.

  Şimdi değerleri formülde yerine koyalım:

  $|BC| = \sqrt{((-3) - 3)^2 + ((-2) - 2)^2}$

  $|BC| = \sqrt{(-6)^2 + (-4)^2}$

  $|BC| = \sqrt{36 + 16}$

  $|BC| = \sqrt{52}$

  Bu ifadeyi sadeleştirebiliriz: $\sqrt{52} = \sqrt{4 \times 13} = 2\sqrt{13}$.

Matematiksel olarak $A(3,-2)$ noktası için $|BC|$ uzunluğu $2\sqrt{13}$ birimdir.

Cevap C seçeneğidir.