Noktanın analitiği

Question

Bu konuda özellikle bir doğru üzerindeki noktaların koordinatlarını bulmakta zorlanıyorum. İki nokta arasındaki uzaklık ve eğim formüllerini karıştırıyorum, sorularda hangisini kullanacağımı tam olarak belirleyemiyorum. Ayrıca analitik düzlemde koordinatları verilen şekillerin alanlarını hesaplarken formülü doğru uygulayamıyorum.

Answer 1

📌 Noktanın Analitiği: Koordinat Sistemine Giriş

Noktanın analitiği, geometrik problemleri cebirsel yöntemlerle çözmemizi sağlayan bir matematik dalıdır. Bu konunun temelini, koordinat sistemi ve noktaların bu sistemdeki konumları oluşturur.

🎯 Koordinat Sistemi (Düzlemi)

Koordinat sistemi, bir düzlemdeki noktaların yerini belirlemek için kullanılan bir araçtır. İki dik eksenden oluşur:

• ➡️ Yatay Eksen (x ekseni): Apsis ekseni olarak da adlandırılır.
• ⬆️ Dikey Eksen (y ekseni): Ordinat ekseni olarak da adlandırılır.

Bu iki eksenin kesiştiği noktaya orijin (başlangıç noktası) denir ve genellikle O(0, 0) şeklinde gösterilir.

📍 Bir Noktanın Koordinatları

Düzlemdeki her nokta, bir sıralı ikili (x, y) ile ifade edilir.

• 📏 x: Noktanın x-eksenine (apsis ekseni) olan dik uzaklığı.
• 📐 y: Noktanın y-eksenine (ordinat ekseni) olan dik uzaklığı.

Örneğin, A(3, 5) noktası, x-ekseninden 3 birim, y-ekseninden 5 birim uzaklıkta bulunur.

🧮 İki Nokta Arasındaki Uzaklık

Koordinat düzleminde verilen iki nokta arasındaki uzaklık, Pisagor teoreminden yararlanılarak bulunur.

A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktaları arasındaki uzaklık:

|AB| = \( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)

💡 Örnek: A(2, 3) ve B(5, 7) noktaları arasındaki uzaklık:

|AB| = \( \sqrt{(5-2)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) birimdir.

📍 Bir Doğru Parçasının Orta Noktası

Uç noktaları A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) olan bir doğru parçasının orta noktasının koordinatları, uç noktaların koordinatlarının aritmetik ortalamasıdır.

Orta Nokta = \( \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \)

💡 Örnek: A(1, 4) ve B(7, 10) noktalarını birleştiren doğru parçasının orta noktası:

O = \( \left( \frac{1+7}{2}, \frac{4+10}{2} \right) = \left( \frac{8}{2}, \frac{14}{2} \right) = (4, 7) \)

📐 Bir Üçgenin Ağırlık Merkezi

Köşe noktaları A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) ve C(x₃, y₃) olan bir üçgenin ağırlık merkezinin (G) koordinatları aşağıdaki formülle bulunur.

G = \( \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right) \)

🎯 Bölüm Noktası Formülü

Uç noktaları A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) olan bir doğru parçasını, verilen bir oranda (k) içten bölen P noktasının koordinatları aşağıdaki gibidir:

\( \frac{|AP|}{|PB|} = k \) ise,

P = \( \left( \frac{x_1 + k \cdot x_2}{1 + k}, \frac{y_1 + k \cdot y_2}{1 + k} \right) \)

💡 Örnek: A(2, 1) ve B(8, 13) noktalarını birleştiren doğru parçasını |AP|/|PB| = 2/1 oranında içten bölen P noktasını bulalım (k=2).

P = \( \left( \frac{2 + 2 \cdot 8}{1 + 2}, \frac{1 + 2 \cdot 13}{1 + 2} \right) = \left( \frac{18}{3}, \frac{27}{3} \right) = (6, 9) \)

✅ Özet

• 📌 Noktalar koordinatlarıyla (x, y) ifade edilir.
• 📏 İki nokta arası uzaklık formülü Pisagor teoremine dayanır.
• 📍 Orta nokta, koordinatların aritmetik ortalamasıdır.
• ⚖️ Ağırlık merkezi, tüm koordinatların toplamının 3'e bölümüdür.
• ➗ Bölüm noktası formülü, verilen bir orana göre noktayı bulmamızı sağlar.