Bir kenar uzunluğu 7 cm olan karenin köşegen uzunluğu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 7Bugün, bir karenin köşegen uzunluğunu nasıl bulacağımızı adım adım öğreneceğiz. Kare, tüm kenarları eşit ve tüm açıları $90$ derece olan özel bir dörtgendir. Köşegen ise, karenin birbirine komşu olmayan iki köşesini birleştiren doğru parçasıdır.
Bize bir kenar uzunluğu $7$ cm olan bir kare verilmiş. Bu karenin köşegen uzunluğunu bulmamız isteniyor. Bir kare çizdiğinizde ve bir köşegenini çizdiğinizde, bu köşegenin kareyi iki eş dik üçgene ayırdığını fark edeceksiniz. Bu dik üçgenlerin dik kenarları, karenin kenarlarıdır ve hipotenüsü (en uzun kenarı) ise karenin köşegenidir.
Dik üçgenlerde kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi bulmak için Pisagor Teoremi'ni kullanırız. Pisagor Teoremi der ki: Bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir. Yani, dik kenarlar $a$ ve $b$, hipotenüs $c$ ise, $a^2 + b^2 = c^2$ formülü geçerlidir.
Bizim durumumuzda, dik üçgenin dik kenarları karenin kenarlarıdır ve her ikisi de $7$ cm'dir. Köşegen uzunluğuna $d$ diyelim. O zaman Pisagor Teoremi'ne göre:
$7^2 + 7^2 = d^2$
Şimdi denklemi adım adım çözelim:
$7^2 = 49$ olduğu için, denklemimiz şöyle olur:
$49 + 49 = d^2$
$98 = d^2$
Şimdi $d$'yi bulmak için her iki tarafın karekökünü almalıyız:
$d = \sqrt{98}$
Karekök içindeki sayıyı sadeleştirmek için, $98$'i çarpanlarına ayırırız ve tam kare olan çarpanları dışarı çıkarırız:
$98 = 49 \times 2$
Bu durumda, $\sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2}$
Karekökün özelliklerinden dolayı, $\sqrt{49 \times 2} = \sqrt{49} \times \sqrt{2}$
$\sqrt{49} = 7$ olduğu için, sonucumuz:
$d = 7\sqrt{2}$ cm olur.
Bulduğumuz $7\sqrt{2}$ cm değeri, seçeneklerdeki B seçeneği ile aynıdır.
Ek Bilgi: Genel olarak, bir kenar uzunluğu $a$ olan bir karenin köşegen uzunluğu her zaman $a\sqrt{2}$ formülü ile bulunur. Bu formülü ezberleyerek benzer soruları daha hızlı çözebilirsiniz.
Cevap B seçeneğidir.
