Karenin köşegen formülü (a√2) Test 1

Bir karenin köşegeni, karenin bir kenarının 2 katından 2 cm daha kısadır. Buna göre karenin çevresi kaç cm'dir?

A) 8(√2 + 1)
B) 4(√2 + 2)
C) 8(2 - √2)
D) 4(2 + √2)

Bu soruda bir karenin kenarı ile köşegeni arasındaki ilişkiyi kullanarak çevresini bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Karenin Kenar Uzunluğunu Tanımlayalım:

  Karenin bir kenar uzunluğuna $a$ diyelim. Bu, tüm kenarların uzunluğu olacaktır.

• 2. Karenin Köşegen Uzunluğunu Hatırlayalım:

  Bir karenin köşegen uzunluğu, kenar uzunluğunun $\sqrt{2}$ katıdır. Yani, köşegen uzunluğu $d = a\sqrt{2}$'dir. Bu formülü Pisagor Teoremi'nden kolayca çıkarabiliriz: Karenin iki kenarı ve köşegeni bir dik üçgen oluşturur. Pisagor Teoremi'ne göre $a^2 + a^2 = d^2 \Rightarrow 2a^2 = d^2 \Rightarrow d = \sqrt{2a^2} \Rightarrow d = a\sqrt{2}$.

• 3. Sorudaki Bilgiyi Matematiksel İfadeye Çevirelim:

  Soruda deniyor ki: "Bir karenin köşegeni, karenin bir kenarının 2 katından 2 cm daha kısadır."

  Bu ifadeyi matematiksel olarak şöyle yazabiliriz:

  $d = 2a - 2$

• 4. Denklemleri Birbirine Eşitleyelim ve $a$ Değerini Bulalım:

  Şimdi köşegen için bulduğumuz iki farklı ifadeyi (formülden gelen ve sorudan gelen) birbirine eşitleyelim:

  $a\sqrt{2} = 2a - 2$

  Şimdi $a$ değerini yalnız bırakmak için denklemi çözelim:

  $2 = 2a - a\sqrt{2}$ ($-2$'yi sol tarafa, $a\sqrt{2}$'yi sağ tarafa attık)

  $2 = a(2 - \sqrt{2})$ ($a$ parantezine aldık)

  $a = \frac{2}{2 - \sqrt{2}}$ (Her iki tarafı $(2 - \sqrt{2})$'ye böldük)

  Paydada köklü ifade olduğunda, paydayı rasyonel yapmak için eşleniği ile çarparız. $(2 - \sqrt{2})$'nin eşleniği $(2 + \sqrt{2})$'dir:

  $a = \frac{2}{2 - \sqrt{2}} \times \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$

  $a = \frac{2(2 + \sqrt{2})}{2^2 - (\sqrt{2})^2}$ (Paydada $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ özdeşliğini kullandık)

  $a = \frac{2(2 + \sqrt{2})}{4 - 2}$

  $a = \frac{2(2 + \sqrt{2})}{2}$

  $a = 2 + \sqrt{2}$ cm

  Böylece karenin bir kenar uzunluğunu $2 + \sqrt{2}$ cm olarak bulduk.

• 5. Karenin Çevresini Hesaplayalım:

  Karenin çevresi, 4 kenar uzunluğunun toplamıdır. Yani, Çevre $P = 4a$ formülüyle bulunur.

  $P = 4 \times (2 + \sqrt{2})$

  $P = 4(2 + \sqrt{2})$ cm

Bu sonuca baktığımızda, seçenekler arasında D seçeneğinin doğru olduğunu görüyoruz.

Cevap D seçeneğidir.