Analitik düzlemde iki nokta arası uzaklık Test 1

X(1,3) noktasının Y(a,7) noktasına uzaklığı 5 birim, Z(4,b) noktasına uzaklığı ise 3√2 birimdir. Buna göre a + b toplamı kaçtır?

A) 10
B) 12
C) 14
D) 16

Merhaba sevgili öğrenciler! Bugün, koordinat düzleminde iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanarak bir problem çözeceğiz. Bu tür problemler, geometride temel bir beceri kazanmanıza yardımcı olur ve analitik düşünme yeteneğinizi geliştirir. Haydi adım adım ilerleyelim!

• Adım 1: İki Nokta Arasındaki Uzaklık Formülünü Hatırlayalım

Koordinat düzleminde $P(x_1, y_1)$ ve $Q(x_2, y_2)$ gibi iki nokta arasındaki uzaklık $d$ aşağıdaki formülle bulunur:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

• Adım 2: X ve Y Noktaları Arasındaki Uzaklığı Kullanalım

Bize $X(1,3)$ noktasının $Y(a,7)$ noktasına uzaklığının 5 birim olduğu verilmiş. Bu bilgiyi uzaklık formülünde yerine yazalım:

• $d_{XY} = 5$
• $x_1 = 1$, $y_1 = 3$
• $x_2 = a$, $y_2 = 7$

$5 = \sqrt{(a - 1)^2 + (7 - 3)^2}$

$5 = \sqrt{(a - 1)^2 + 4^2}$

$5 = \sqrt{(a - 1)^2 + 16}$

Her iki tarafın karesini alarak karekökten kurtulalım:

$5^2 = (a - 1)^2 + 16$

$25 = (a - 1)^2 + 16$

Şimdi $(a - 1)^2$ ifadesini yalnız bırakalım:

$25 - 16 = (a - 1)^2$

$9 = (a - 1)^2$

Bu denklemi çözdüğümüzde, $a - 1$ ifadesi 3 veya -3 olabilir:

• $a - 1 = 3 \Rightarrow a = 4$
• $a - 1 = -3 \Rightarrow a = -2$

Şimdilik $a$ için iki olası değerimiz var: $4$ ve $-2$.

• Adım 3: X ve Z Noktaları Arasındaki Uzaklığı Kullanalım

Şimdi de $X(1,3)$ noktasının $Z(4,b)$ noktasına uzaklığının $3\sqrt{2}$ birim olduğu bilgisini kullanalım:

• $d_{XZ} = 3\sqrt{2}$
• $x_1 = 1$, $y_1 = 3$
• $x_2 = 4$, $y_2 = b$

$3\sqrt{2} = \sqrt{(4 - 1)^2 + (b - 3)^2}$

$3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 + (b - 3)^2}$

$3\sqrt{2} = \sqrt{9 + (b - 3)^2}$

Yine her iki tarafın karesini alalım:

$(3\sqrt{2})^2 = 9 + (b - 3)^2$

$9 \times 2 = 9 + (b - 3)^2$

$18 = 9 + (b - 3)^2$

Şimdi $(b - 3)^2$ ifadesini yalnız bırakalım:

$18 - 9 = (b - 3)^2$

$9 = (b - 3)^2$

Bu denklemi çözdüğümüzde, $b - 3$ ifadesi 3 veya -3 olabilir:

• $b - 3 = 3 \Rightarrow b = 6$
• $b - 3 = -3 \Rightarrow b = 0$

B için de iki olası değerimiz var: $6$ ve $0$.

• Adım 4: a + b Toplamını Bulalım

$a$ için $4$ veya $-2$, $b$ için $6$ veya $0$ değerlerini bulduk. Bu durumda $a+b$ toplamı için farklı olasılıklar ortaya çıkar:

• Eğer $a=4$ ve $b=6$ ise, $a+b = 4+6 = 10$.
• Eğer $a=4$ ve $b=0$ ise, $a+b = 4+0 = 4$.
• Eğer $a=-2$ ve $b=6$ ise, $a+b = -2+6 = 4$.
• Eğer $a=-2$ ve $b=0$ ise, $a+b = -2+0 = -2$.

Sorunun seçeneklerine baktığımızda (A) 10, (B) 12, (C) 14, (D) 16 olduğunu görüyoruz. Bulduğumuz olası toplam değerlerinden sadece $10$ seçenekte mevcuttur. Bu durumda $a=4$ ve $b=6$ değerlerini alarak sonuca ulaşırız.

$a+b = 4+6 = 10$

Cevap B seçeneğidir.