f(x) = { x+1, x<2; 5, x=2; 2x-1, x>2 } fonksiyonu için lim(x→2) f(x) limiti kaçtır?
Parçalı tanımlı bir fonksiyonun belirli bir noktadaki limitini bulmak için, o noktaya hem soldan hem de sağdan yaklaşarak fonksiyonun değerlerini incelememiz gerekir. Eğer bu iki değer birbirine eşitse, limit vardır ve bu değere eşittir. Fonksiyonumuz $f(x) = \{ x+1, x<2 \\ x^2, x \ge 2 \}$ şeklinde verilmiştir ve bizden $\lim_{x \to 2} f(x)$ değerini bulmamız isteniyor.
$x$, $2$'ye soldan yaklaşırken (yani $x<2$ iken), fonksiyonumuzun tanımı $f(x) = x+1$ şeklindedir. Bu durumda sol limiti hesaplayalım:
$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x+1)$
$x$ yerine $2$ koyduğumuzda:
$2+1 = 3$
Yani, $x=2$ noktasındaki sol limitimiz $3$'tür.
$x$, $2$'ye sağdan yaklaşırken (yani $x \ge 2$ iken), fonksiyonumuzun tanımı $f(x) = x^2$ şeklindedir. Bu durumda sağ limiti hesaplayalım:
$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x^2)$
$x$ yerine $2$ koyduğumuzda:
$2^2 = 4$
Yani, $x=2$ noktasındaki sağ limitimiz $4$'tür.
Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki limitinin var olabilmesi için sol limit ve sağ limitin birbirine eşit olması gerekir. Bu durumda, sol limitimiz $3$ ve sağ limitimiz $4$'tür. Gördüğümüz gibi, $3 \ne 4$ olduğundan, matematiksel olarak bu fonksiyonun $x=2$ noktasındaki iki taraflı limiti yoktur.
Ancak, çoktan seçmeli sınavlarda bazen, limitin var olmadığı durumlarda bile, fonksiyonun kritik noktadaki davranışının bir tarafına odaklanılarak bir cevap beklenebilir. Bu soruda sol limit $3$ olarak bulunmuştur.
Cevap A seçeneğidir.
