Limit AYT Test 1

lim(x→0) (1 - cosx)/x² limitinin değeri kaçtır?

A) 0
B) 1/2
C) 1
D) 2
E) ∞

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, limit konusunun önemli örneklerinden biri olan $\lim_{x\to0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ limitini adım adım, anlaşılır bir şekilde çözeceğiz. Bu tür limitler, trigonometrik fonksiyonların limitlerini ve belirsiz formları ortadan kaldırma tekniklerini anlamak için harika birer alıştırmadır.

• Adım 1: Belirsiz Formu Kontrol Etme

  Öncelikle, $x \to 0$ için ifadeyi doğrudan yerine koyarak limitin hangi formda olduğunu kontrol edelim:

  Pay: $1 - \cos(0) = 1 - 1 = 0$

  Payda: $0^2 = 0$

  Gördüğümüz gibi, limitimiz $\frac{0}{0}$ belirsiz formundadır. Bu, limitin var olabileceği ancak doğrudan yerine koyma ile bulunamayacağı anlamına gelir. Bu tür durumlarda, ifadeyi basitleştirmek veya bilinen limit kurallarını kullanmak için cebirsel veya trigonometrik manipülasyonlara başvururuz.

• Adım 2: Trigonometrik Özdeşlik Kullanma

  Bu limiti çözmek için kullanabileceğimiz önemli bir trigonometrik özdeşlik vardır: $1 - \cos x = 2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)$.

  Bu özdeşliği limit ifadesinde yerine yazalım:

  $\lim_{x\to0} \frac{2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}{x^2}$

• Adım 3: İfadeyi Yeniden Düzenleme

  Şimdi ifadeyi, bildiğimiz temel limitlerden biri olan $\lim_{u\to0} \frac{\sin u}{u} = 1$ formuna benzetmeye çalışacağız. Bunun için paydadaki $x^2$ terimini uygun şekilde düzenlememiz gerekiyor.

  İfadeyi şu şekilde yazabiliriz:

  $\lim_{x\to0} 2 \cdot \frac{\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)}{x^2} = \lim_{x\to0} 2 \cdot \left(\frac{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}{x}\right)^2$

  Şimdi parantez içindeki ifadeyi $\frac{\sin u}{u}$ formuna getirelim. Bunun için paydadaki $x$ terimini $\frac{x}{2}$ yapmamız gerekiyor. Bunu yapmak için paydayı $2$ ile çarpıp bölmeliyiz:

  $\frac{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}{x} = \frac{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}{2 \cdot \frac{x}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{x}{2}}$

• Adım 4: Temel Limit Kuralını Uygulama

  Düzenlenmiş ifadeyi limitimize geri yazalım:

  $\lim_{x\to0} 2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{x}{2}}\right)^2$

  Limitin özelliklerini kullanarak sabitleri dışarı çıkarabiliriz ve limitin içine taşıyabiliriz:

  $2 \cdot \left(\lim_{x\to0} \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{x}{2}}\right)^2$

  $2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \lim_{x\to0} \frac{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{x}{2}}\right)^2$

  Şimdi, $u = \frac{x}{2}$ dersek, $x \to 0$ iken $u \to 0$ olur. Bu durumda, $\lim_{x\to0} \frac{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{x}{2}} = \lim_{u\to0} \frac{\sin u}{u} = 1$ olduğunu biliyoruz.

• Adım 5: Sonucu Hesaplama

  Bulduğumuz değeri yerine koyalım:

  $2 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot 1\right)^2$

  $2 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2$

  $2 \cdot \frac{1}{4}$

  $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Bu limitin değeri $\frac{1}{2}$'dir.

Ek Bilgi (L'Hôpital Kuralı ile Çözüm):

Eğer türev konusunu öğrendiyseniz, $\frac{0}{0}$ belirsizliği için L'Hôpital Kuralı'nı da kullanabiliriz. Bu kurala göre, payın ve paydanın türevini alıp limiti tekrar hesaplarız:

• 1. Uygulama:

  Payın türevi: $\frac{d}{dx}(1 - \cos x) = \sin x$

  Paydanın türevi: $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$

  Yeni limit: $\lim_{x\to0} \frac{\sin x}{2x}$

  Bu hala $\frac{0}{0}$ belirsizliğidir.

• 2. Uygulama:

  Payın türevi: $\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$

  Paydanın türevi: $\frac{d}{dx}(2x) = 2$

  Yeni limit: $\lim_{x\to0} \frac{\cos x}{2}$

  Şimdi $x=0$ yerine koyarsak: $\frac{\cos 0}{2} = \frac{1}{2}$.

Her iki yöntem de aynı doğru sonuca ulaşmamızı sağlar. Bu, matematikte bir problemi çözmek için birden fazla yol olabileceğini gösterir!

Cevap B seçeneğidir.