Limit AYT Test 1

lim(x→0) (e^x - 1)/x limitinin değeri kaçtır?

A) 0
B) 1
C) e
D) 1/e
E) ∞

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, limit hesaplamalarında sıkça karşımıza çıkan bir belirsizlik durumunu ve bu durumu nasıl çözeceğimizi adım adım inceleyeceğiz. Sorumuz, $x$ sıfıra yaklaşırken $\frac{e^x - 1}{x}$ ifadesinin limitini bulmaktır.

• Adım 1: Doğrudan Yerine Koyma ve Belirsizlik Durumunun Tespiti

  Limit sorularında ilk yapmamız gereken, $x$ değerini doğrudan fonksiyonda yerine koymaktır. Eğer belirli bir sayıya ulaşırsak, limitin değeri odur. Eğer tanımsız bir ifade (örneğin bir sayının sıfıra bölümü) veya bir belirsizlik durumu (örneğin $\frac{0}{0}$ veya $\frac{\infty}{\infty}$) ile karşılaşırsak, başka yöntemlere başvurmamız gerekir.

  Verilen fonksiyonda $x=0$ değerini yerine koyalım:

  $\frac{e^0 - 1}{0}$

  $e^0 = 1$ olduğu için ifade şu hale gelir:

  $\frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}$

  Bu bir belirsizlik durumudur. Bu durumda L'Hôpital Kuralı'nı veya özel limit kurallarını kullanabiliriz.

• Adım 2: L'Hôpital Kuralı'nı Uygulama

  L'Hôpital Kuralı, $\frac{0}{0}$ veya $\frac{\infty}{\infty}$ belirsizlik durumlarında limit hesaplamak için kullanılan güçlü bir yöntemdir. Kurala göre, $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}$ belirsiz ise, bu limit $\lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ limitine eşittir (eğer ikinci limit mevcutsa).

  Bizim fonksiyonumuzda $f(x) = e^x - 1$ ve $g(x) = x$'tir.

  • $f(x)$'in türevi: $f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x - 1) = e^x - 0 = e^x$.
  • $g(x)$'in türevi: $g'(x) = \frac{d}{dx}(x) = 1$.

  Şimdi bu türevleri kullanarak yeni limiti hesaplayalım:

  $\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1}$

  Şimdi $x=0$ değerini yerine koyabiliriz:

  $\frac{e^0}{1} = \frac{1}{1} = 1$

• Adım 3: Özel Limit Kuralı ile İlişkilendirme (Ek Bilgi)

  Bu limit aynı zamanda türevin tanımından gelen özel bir limittir. Bir $f(x)$ fonksiyonunun $x=a$ noktasındaki türevi şu şekilde tanımlanır:

  $f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$

  Eğer $f(x) = e^x$ ve $a=0$ alırsak, türevin tanımı şu olur:

  $f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^0}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$

  Biz biliyoruz ki $f(x) = e^x$ fonksiyonunun türevi $f'(x) = e^x$'tir. Dolayısıyla $f'(0) = e^0 = 1$ olur.

  Bu da bize limitin değerinin $1$ olduğunu gösterir.

• Adım 4: Sonuç

  Her iki yöntemle de limitin değerini $1$ olarak bulduk.

Cevap B seçeneğidir.