Sevgili öğrenciler, bir noktanın bir doğruya olan uzaklığını bulma problemi, analitik geometrinin temel konularından biridir. Bu tür problemleri çözerken belirli bir formülü kullanırız. Şimdi adım adım bu soruyu çözelim:
- Adım 1: Noktanın ve Doğrunun Denklemini Belirleyelim
- Bize verilen nokta $A(1,3)$'tür. Bu noktayı $(x_0, y_0)$ olarak düşünebiliriz, yani $x_0 = 1$ ve $y_0 = 3$.
- Bize verilen doğrunun denklemi $2x - y + 1 = 0$'dır. Genel doğru denklemi $Ax + By + C = 0$ şeklinde olduğundan, bu denklemde $A = 2$, $B = -1$ ve $C = 1$ olduğunu görüyoruz.
- Adım 2: Noktanın Doğruya Uzaklık Formülünü Hatırlayalım
- Bir $P(x_0, y_0)$ noktasının $Ax + By + C = 0$ doğrusuna olan uzaklığı $d$ aşağıdaki formülle bulunur:
- $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
- Adım 3: Değerleri Formülde Yerine Koyalım
- Şimdi belirlediğimiz $x_0, y_0, A, B, C$ değerlerini formülde yerine yazalım:
- $d = \frac{|(2)(1) + (-1)(3) + 1|}{\sqrt{(2)^2 + (-1)^2}}$
- Adım 4: Pay Kısmını Hesaplayalım
- Mutlak değer içindeki ifadeyi hesaplayalım:
- $|(2)(1) + (-1)(3) + 1| = |2 - 3 + 1| = |0| = 0$
- Adım 5: Payda Kısmını Hesaplayalım
- Karekök içindeki ifadeyi hesaplayalım:
- $\sqrt{(2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$
- Adım 6: Uzaklığı Bulalım
- Şimdi pay ve payda değerlerini yerine koyarak uzaklığı hesaplayalım:
- $d = \frac{0}{\sqrt{5}} = 0$
- Adım 7: Sonucu Yorumlayalım
- Uzaklığın $0$ birim olması, $A(1,3)$ noktasının $2x - y + 1 = 0$ doğrusunun üzerinde olduğu anlamına gelir. Bunu sağlamasını kontrol edelim: $2(1) - 3 + 1 = 2 - 3 + 1 = 0$. Gördüğümüz gibi nokta denklemi sağlıyor, yani doğru üzerindedir.
Cevap A seçeneğidir.
