Eğik asimptot Test 1

f(x) = (2x² + 3x - 1)/(x - 2) fonksiyonunun eğik asimptotu nedir?

A) y = 2x + 7
B) y = 2x - 1
C) y = x + 5
D) y = 3x + 2

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, bir rasyonel fonksiyonun eğik asimptotunu nasıl bulacağımızı adım adım öğreneceğiz. Eğik asimptotlar, bir fonksiyonun $x$ değerleri sonsuza veya eksi sonsuza giderken yaklaştığı doğru denklemleridir. Bir rasyonel fonksiyonda, payın derecesi paydanın derecesinden tam olarak bir fazla olduğunda eğik asimptot bulunur.

Verilen fonksiyonumuz $f(x) = \frac{2x^2 + 3x - 1}{x - 2}$.

• Adım 1: Eğik Asimptotun Varlığını Kontrol Etme
• Fonksiyonun payı $2x^2 + 3x - 1$ olup derecesi $2$'dir. Paydası $x - 2$ olup derecesi $1$'dir. Payın derecesi ($2$), paydanın derecesinden ($1$) tam olarak bir fazla olduğu için, bu fonksiyonun bir eğik asimptotu vardır.
• Adım 2: Eğik Asimptotu Bulma Yöntemi
• Eğik asimptotu bulmak için, payı paydaya bölmemiz gerekir. Bu bölme işlemini polinom bölmesi veya sentetik bölme (Horner metodu) ile yapabiliriz. Payda $x - 2$ şeklinde olduğu için sentetik bölme bu durumda daha hızlı ve pratiktir.
• Adım 3: Sentetik Bölme İşlemini Uygulama
• Paydadaki $x - 2$ ifadesini sıfıra eşitlediğimizde $x = 2$ elde ederiz. Bu değeri bölme işleminde kullanacağız.
• Payın katsayıları $2$, $3$ ve $-1$'dir.
• Sentetik bölme şu şekilde yapılır:

•         2 | 2   3   -1
            |     4   14
            ----------------
              2   7   13
          

• Bölme sonucunda elde ettiğimiz ilk iki sayı ($2$ ve $7$) bölümün katsayılarını, son sayı ($13$) ise kalanı temsil eder.
• Bölüm: $2x + 7$
• Kalan: $13$
• Adım 4: Eğik Asimptot Denklemini Belirleme
• Bir rasyonel fonksiyon $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ bölme işlemi sonucunda $f(x) = B(x) + \frac{K(x)}{Q(x)}$ şeklinde yazılabilir. Burada $B(x)$ bölümü ve $K(x)$ kalanı temsil eder.
• Bizim durumumuzda $f(x) = (2x + 7) + \frac{13}{x - 2}$ şeklindedir.
• Eğik asimptot, $x \to \pm \infty$ iken $\frac{K(x)}{Q(x)}$ teriminin sıfıra yaklaşmasıyla elde edilen $y = B(x)$ doğrusudur.
• Yani, $x$ sonsuza veya eksi sonsuza giderken, $\frac{13}{x - 2}$ terimi $0$'a yaklaşır. Bu durumda fonksiyon $y = 2x + 7$ doğrusuna yaklaşır.
• Bu nedenle, eğik asimptotun denklemi $y = 2x + 7$'dir.

Cevap A seçeneğidir.